任意椭圆和直线求交点方程组解析

以下为标准椭圆方程与一般直线方程的交点解析：    { y = k x + m    直线方程 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 椭圆方程 \,\,\left\{ \begin{array}{c} y=kx+m\,\,\text{直线方程}\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \text{椭圆方程}\\ \end{array} \right. {y=kx+m直线方程a2x2​+b2y2​=1椭圆方程​ 将直线方程带入椭圆方程得： ⇒    x 2 a 2 + ( k x + m ) 2 b 2 = 1 \Rightarrow \,\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{\left( kx+m \right) ^2}{b^2}=1 ⇒a2x2​+b2(kx+m)2​=1

⇒    x 2 a 2 + ( k x + m ) 2 b 2 = 1 \Rightarrow \,\,\frac{x^2}{a^2}+\frac{\left( kx+m \right) ^2}{b^2}=1 ⇒a2x2​+b2(kx+m)2​=1

⇒    b 2 x 2 + a 2 ( k x + m ) 2 = a 2 b 2 \Rightarrow \,\,b^2x^2+a^2\left( kx+m \right) ^2=a^2b^2 ⇒b2x2+a2(kx+m)2=a2b2

⇒    b 2 x 2 + a 2 ( k 2 x 2 + 2 k m x + m 2 ) = a 2 b 2 \Rightarrow \,\,b^2x^2+a^2\left( k^2x^2+2kmx+m^2 \right) =a^2b^2 ⇒b2x2+a2(k2x2+2kmx+m2)=a2b2

⇒    b 2 x 2 + a 2 k 2 x 2 + 2 a 2 k m x + a 2 m 2 − a 2 b 2 = 0 \Rightarrow \,\,b^2x^2+a^2k^2x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0 ⇒b2x2+a2k2x2+2a2kmx+a2m2−a2b2=0

⇒    ( b 2 + a 2 k 2 ) x 2 + 2 a 2 k m x + a 2 ( m 2 − b 2 ) = 0 \Rightarrow \,\,\left( b^2+a^2k^2 \right) x^2+2a^2kmx+a^2\left( m^2-b^2 \right) =0 ⇒(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2(m2−b2)=0

⇒ 设 {   A = ( b 2 + a 2 k 2 ) B = 2 a 2 k m C = a 2 ( m 2 − b 2 ) \Rightarrow \text{设}\begin{cases} \,A=\left( b^2+a^2k^2 \right)\\ B=2a^2km\\ C=a^2\left( m^2-b^2 \right)\\ \end{cases} ⇒设⎩⎪⎨⎪⎧​A=(b2+a2k2)B=2a2kmC=a2(m2−b2)​

⇒    则方程式为：  A x 2 + B x + C = 0 \Rightarrow \,\,\text{则方程式为： }Ax^2+Bx+C=0 ⇒则方程式为： Ax2+Bx+C=0

对于如下形式的一元二次方程：

a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0

方程的两个根为：

x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a ； x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{；}x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} x1​=2a−b+b2−4ac ​​；x2​=2a−b−b2−4ac ​​

一元二次方程求根公式推导过程： { a x 2 + b x + c = 0 ⇒    x 2 + b a x + c a = 0 ⇒    x 2 + b a x = − c a ⇒    x 2 + 2 b 2 a x = − c a ⇒    x 2 + 2 b 2 a x + ( b 2 a ) 2 = − c a + ( b 2 a ) 2 ⇒    x 2 + 2 b 2 a x + b 2 4 a 2 = − c a + b 2 4 a 2 ⇒    ( x + b 2 a ) 2 = − c a + b 2 4 a 2 ⇒    ( x + b 2 a ) 2 = − 4 a c 4 a 2 + b 2 4 a 2 ⇒    ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 ⇒    x + b 2 a = ± ( b 2 − 4 a c ) 2 a ⇒    x = − b ± ( b 2 − 4 a c ) 2 a \text{一元二次方程求根公式推导过程：}\begin{cases} ax^2+bx+c=0\\ \Rightarrow \,\,x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\\ \Rightarrow \,\,x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \,\,x^2+2\frac{b}{2a}x=-\frac{c}{a}\\ \Rightarrow \,\,x^2+2\frac{b}{2a}x+\left( \frac{b}{2a} \right) ^2=-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right) ^2\\ \Rightarrow \,\,x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^2=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,\left( x+\frac{b}{2a} \right) ^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\ \Rightarrow \,\,x+\frac{b}{2a}=\frac{\pm \sqrt{\left( b^2-4ac \right)}}{2a}\\ \Rightarrow \,\,x=\frac{-b\pm \sqrt{\left( b^2-4ac \right)}}{2a}\\ \end{cases} 一元二次方程求根公式推导过程：⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​ax2+bx+c=0⇒x2+ab​x+ac​=0⇒x2+ab​x=−ac​⇒x2+22ab​x=−ac​⇒x2+22ab​x+(2ab​)2=−ac​+(2ab​)2⇒x2+22ab​x+4a2b2​=−ac​+4a2b2​⇒(x+2ab​)2=−ac​+4a2b2​⇒(x+2ab​)2=−4a24ac​+4a2b2​⇒(x+2ab​)2=4a2b2−4ac​⇒x+2ab​=2a±(b2−4ac) ​​⇒x=2a−b±(b2−4ac) ​​​

以下为通用椭圆方程与通用直线方程的交点解析： 参考：标准椭圆和任意椭圆方程之间的变换公式推导 k x + m y + n = 0                    通 用 直 线 方 程 kx+my+n=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,通用直线方程 kx+my+n=0通用直线方程 将直线方程化简： y = − k m x − n m y=-\frac{k}{m}x-\frac{n}{m} y=−mk​x−mn​

⇒ 设 { K = − k m M = − n m \Rightarrow \text{设}\begin{cases} K=-\frac{k}{m}\\ M=-\frac{n}{m} \end{cases} ⇒设{K=−mk​M=−mn​​ 将K，M带入： ⇒ 得 ： y = K x − M \Rightarrow 得： y=Kx-M ⇒得：y=Kx−M

我们在高中数学中就学习过标准的椭圆方程如下：

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 a2x2​+b2y2​=1

这个方程表示一个中心在坐标原点、长轴沿 x x x轴d 长度为 a a a，短轴沿 y y y轴的轴长度为 b b b的正椭圆（ a a a > b b b > 0 的条件下），如下图所示：

一般来说，椭圆可以以任何一点为中心，也可以有与坐标轴不平行的轴。这样的椭圆总是可以从标准位置的椭圆开始，然后进行旋转和/或平移得到。对于一般性的公式，我们可以包括通过一个角度为0的旋转(即根本没有旋转)和通过零向量的平移(根本没有平移)来进行变换。也就是说，每一个椭圆都可以通过在标准位置上旋转和平移得到。因此，对椭圆的标准方程进行旋转和平移，可以得到任意椭圆的方程。

是旋转然后平移，还是相反，这是一个需要选择的问题。为了理解这个，让R表示一个旋转，考虑点 x = ( x , y ) x=(x,y) x=(x,y)，会发生什么如果我们先平移向量 v v v，然后应用 R R R。因为 R R R是线性的，变换之后的结果为 R ( x + v ) = R x + R v R(x+v)=Rx+Rv R(x+v)=Rx+Rv，然而这和先旋转 x x x，然后用 R v Rv Rv平移是一样的。这表明，每一个椭圆都可以从一个标准位置的椭圆中得到，要么是旋转后再平移，要么是平移后再旋转。在推导椭圆的一般方程时，我们将使用先旋转后平移的方法。

参考旋转矩阵的两种用法一文，我们使用极坐标工具，绕原点逆时针旋转，通过一个角 α α α，很容易可以将 ( x , y ) (x,y) (x,y)变成 ( x c o s α − y s i n α , y c o s α + x s i n α ) (xcosα-ysinα,ycosα+xsinα) (xcosα−ysinα,ycosα+xsinα)。写成矩阵的形式为： [ u v ] = [ c o s α − s i n α s i n α c o s α ] [ x y ] \left[ \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} cos\alpha&−sin\alpha\\ sin\alpha&cos\alpha\\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right] [uv​]=[cosαsinα​−sinαcosα​][xy​] 它的逆运算可以通过旋转 2 π − α 2π-α 2π−α得到，因此将 ( u , v ) (u,v) (u,v)变换为 ( x c o s α + y s i n α , y c o s α − x s i n α ) (xcosα+ysinα,ycosα-xsinα) (xcosα+ysinα,ycosα−xsinα)。即： [ u v ] = [ c o s α s i n α − s i n α c o s α ] [ x y ] \left[ \begin{array}{c} u\\ v\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} cos\alpha&sin\alpha\\ -sin\alpha&cos\alpha\\ \end{matrix}\right] \left[ \begin{array}{c} x\\ y\\ \end{array} \right] [uv​]=[cosα−sinα​sinαcosα​][xy​] 事实上，这表明了一个定理，即对于旋转矩阵： R − 1 = R T R^{-1}=R^T R−1=RT

应用变换椭圆方程的方法，可以得到以下方程，对于一个经过 θ \theta θ角旋转的标准椭圆： ( x c o s θ + y s i n θ ) 2 a 2 + ( y c o s θ − x s i n θ ) 2 b 2 = 1 \frac{\left( xcos\theta +ysin\theta \right) ^2}{a^2}+\frac{\left( ycos\theta -xsin\theta \right) ^2}{b^2}=1 a2(xcosθ+ysinθ)2​+b2(ycosθ−xsinθ)2​=1

x 2 c o s 2 θ + 2 x y c o s θ s i n θ + y 2 s i n 2 θ a 2 + y 2 c o s 2 θ − 2 x y s i n θ c o s θ + x 2 s i n 2 θ b 2 = 1 \frac{x^2cos^2\theta +2xycos\theta sin\theta +y^2sin^2\theta}{a^2}+\frac{y^2cos^2\theta -2xysin\theta cos\theta +x^2sin^2\theta}{b^2}=1 a2x2cos2θ+2xycosθsinθ+y2sin2θ​+b2y2cos2θ−2xysinθcosθ+x2sin2θ​=1

c o s 2 θ a 2 x 2 + s i n 2 θ b 2 x 2 + 2 c o s θ s i n θ a 2 x y − 2 s i n θ c o s θ b 2 x y + s i n 2 θ a 2 y 2 + c o s 2 θ b 2 y 2 = 1 \frac{cos^2\theta}{a^2}x^2+\frac{sin^2\theta}{b^2}x^2+\frac{2cos\theta sin\theta}{a^2}xy-\frac{2sin\theta cos\theta}{b^2}xy+\frac{sin^2\theta}{a^2}y^2+\frac{cos^2\theta}{b^2}y^2=1 a2cos2θ​x2+b2sin2θ​x2+a22cosθsinθ​xy−b22sinθcosθ​xy+a2sin2θ​y2+b2cos2θ​y2=1

( c o s 2 θ a 2 + s i n 2 θ b 2 ) x 2 + 2 s i n θ c o s θ ( 1 a 2 − 1 b 2 ) x y + ( s i n 2 θ a 2 + c o s 2 θ b 2 ) y 2 = 1 \left( \frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2} \right) x^2+2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right) xy+\left( \frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2} \right) y^2=1 (a2cos2θ​+b2sin2θ​)x2+2sinθcosθ(a21​−b21​)xy+(a2sin2θ​+b2cos2θ​)y2=1

( c o s 2 θ a 2 + s i n 2 θ b 2 ) x 2 + 2 s i n θ c o s θ ( 1 a 2 − 1 b 2 ) x y + ( s i n 2 θ a 2 + c o s 2 θ b 2 ) y 2 = 1 \left( \frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2} \right) x^2+2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right) xy+\left( \frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2} \right) y^2=1 (a2cos2θ​+b2sin2θ​)x2+2sinθcosθ(a21​−b21​)xy+(a2sin2θ​+b2cos2θ​)y2=1

⇒ 设 {   A = c o s 2 θ a 2 + s i n 2 θ b 2 B = 2 s i n θ c o s θ ( 1 a 2 − 1 b 2 ) C = s i n 2 θ a 2 + c o s 2 θ b 2 \Rightarrow \text{设}\begin{cases} \,A=\frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2}\\ B=2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right)\\ C=\frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2}\\ \end{cases} ⇒设⎩⎪⎨⎪⎧​A=a2cos2θ​+b2sin2θ​B=2sinθcosθ(a21​−b21​)C=a2sin2θ​+b2cos2θ​​

则中心点在原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)做任意旋转的椭圆方程式可简化为： A x 2 + B x y + C y 2 = 1 Ax^2+Bxy+Cy^2=1 Ax2+Bxy+Cy2=1

A − C 可 得 ： ( c o s 2 θ a 2 + s i n 2 θ b 2 ) − ( s i n 2 θ a 2 + c o s 2 θ b 2 ) A-C可得：\left( \frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2} \right) -\left( \frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2} \right) A−C可得：(a2cos2θ​+b2sin2θ​)−(a2sin2θ​+b2cos2θ​)

= b 2 c o s 2 θ a 2 b 2 + a 2 s i n 2 θ a 2 b 2 − b 2 s i n 2 θ a 2 b 2 − a 2 c o s 2 θ a 2 b 2 =\frac{b^2cos^2\theta}{a^2b^2}+\frac{a^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{b^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2cos^2\theta}{a^2b^2} =a2b2b2cos2θ​+a2b2a2sin2θ​−a2b2b2sin2θ​−a2b2a2cos2θ​

= b 2 c o s 2 θ a 2 b 2 − a 2 c o s 2 θ a 2 b 2 + a 2 s i n 2 θ a 2 b 2 − b 2 s i n 2 θ a 2 b 2 =\frac{b^2cos^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2cos^2\theta}{a^2b^2}+\frac{a^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{b^2sin^2\theta}{a^2b^2} =a2b2b2cos2θ​−a2b2a2cos2θ​+a2b2a2sin2θ​−a2b2b2sin2θ​

= ( b 2 c o s 2 θ a 2 b 2 − a 2 c o s 2 θ a 2 b 2 ) − ( b 2 s i n 2 θ a 2 b 2 − a 2 s i n 2 θ a 2 b 2 ) =\left(\frac{b^2cos^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2cos^2\theta}{a^2b^2}\right)-\left( \frac{b^2sin^2\theta}{a^2b^2}-\frac{a^2sin^2\theta}{a^2b^2} \right) =(a2b2b2cos2θ​−a2b2a2cos2θ​)−(a2b2b2sin2θ​−a2b2a2sin2θ​)

= c o s 2 θ ( b 2 − a 2 ) − s i n 2 θ ( b 2 − a 2 ) a 2 b 2 =\frac{cos^2\theta \left( b^2-a^2 \right) -sin^2\theta \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2} =a2b2cos2θ(b2−a2)−sin2θ(b2−a2)​

= ( c o s 2 θ − s i n 2 θ ) ( b 2 − a 2 ) a 2 b 2 =\frac{\left( cos^2\theta -sin^2\theta \right) \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2} =a2b2(cos2θ−sin2θ)(b2−a2)​

B 通 分 后 可 得 ： 2 s i n θ c o s θ ( b 2 − a 2 ) a 2 b 2 B通分后可得：\frac{2sin\theta cos\theta \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2} B通分后可得：a2b22sinθcosθ(b2−a2)​

A − C B 为 ： ( c o s 2 θ − s i n 2 θ ) ( b 2 − a 2 ) a 2 b 2 × a 2 b 2 2 s i n θ c o s θ ( b 2 − a 2 ) = c o s 2 θ − s i n 2 θ 2 s i n θ c o s θ \frac{A-C}{B}为：\frac{\left( cos^2\theta -sin^2\theta \right) \left( b^2-a^2 \right)}{a^2b^2}\times \frac{a^2b^2}{2sin\theta cos\theta \left( b^2-a^2 \right)}=\frac{cos^2\theta -sin^2\theta}{2sin\theta cos\theta} BA−C​为：a2b2(cos2θ−sin2θ)(b2−a2)​×2sinθcosθ(b2−a2)a2b2​=2sinθcosθcos2θ−sin2θ​

根据三角函数二倍角公式： { sin ⁡ 2 θ = 2 s i n θ c o s θ cos ⁡ 2 θ = c o s 2 θ − s i n 2 θ \begin{cases} \sin 2\theta =2sin\theta cos\theta\\ \cos 2\theta =cos^2\theta -sin^2\theta\\ \end{cases} {sin2θ=2sinθcosθcos2θ=cos2θ−sin2θ​ 可得： c o t ( 2 θ ) = A − C B cot\left( 2\theta \right) =\frac{A-C}{B} cot(2θ)=BA−C​

然后，再次使用坐标旋转变换公式，即可得到椭圆的长短轴信息，参考Rotated Conic Section Identifying这个视频；

通过上述求证，则可以得到，将椭圆中心点平移到 ( x ′ , y ′ ) \left( x',y' \right) (x′,y′)，并且以 ( x ′ , y ′ ) \left( x',y' \right) (x′,y′)为中心的旋转椭圆的一般方程为： A ( x − x ′ ) 2 + B ( x − x ′ ) ( y − y ′ ) + C ( y − y ′ ) 2 = 1 A\left( x-x' \right) ^2+B\left( x-x' \right) \left( y-y' \right) +C\left( y-y' \right) ^2=1 A(x−x′)2+B(x−x′)(y−y′)+C(y−y′)2=1 将方程式进一步拆解：

A ( x 2 − 2 x x ′ + x ′ 2 ) + B ( x y − x y ′ − x ′ y + x ′ y ′ ) + C ( y 2 − 2 y y ′ + y ′ 2 ) = 1 A\left( x^2-2xx'+x'^2 \right) +B\left( xy-xy'-x'y+x'y' \right) +C\left( y^2-2yy'+y'^2 \right) =1 A(x2−2xx′+x′2)+B(xy−xy′−x′y+x′y′)+C(y2−2yy′+y′2)=1

A x 2 − 2 A x x ′ + A x ′ 2 + B x y − B x y ′ − B x ′ y + B x ′ y ′ + C y 2 − 2 C y y ′ + C y ′ 2 = 1 Ax^2-2Axx'+Ax'^2+Bxy-Bxy'-Bx'y+Bx'y'+Cy^2-2Cyy'+Cy'^2=1 Ax2−2Axx′+Ax′2+Bxy−Bxy′−Bx′y+Bx′y′+Cy2−2Cyy′+Cy′2=1

A x 2 + B x y + C y 2 − ( 2 A x ′ + B y ′ ) x − ( 2 C y ′ + B x ′ ) y + ( A x ′ 2 + B x ′ y ′ + C y ′ 2 ) = 1 Ax^2+Bxy+Cy^2-\left( 2Ax'+By' \right) x-\left( 2Cy'+Bx' \right) y+\left( Ax'^2+Bx'y'+Cy'^2 \right) =1 Ax2+Bxy+Cy2−(2Ax′+By′)x−(2Cy′+Bx′)y+(Ax′2+Bx′y′+Cy′2)=1 最终椭圆的通用方程式为： x 2 + B A x y + C A y 2 − ( 2 x ′ + B A y ′ ) x − ( 2 C A y ′ + B A x ′ ) y + ( x ′ 2 + B A x ′ y ′ + C A y ′ 2 − 1 A ) = 0 x^2+\frac{B}{A}xy+\frac{C}{A}y^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}y'+\frac{B}{A}x' \right) y+\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0 x2+AB​xy+AC​y2−(2x′+AB​y′)x−(2AC​y′+AB​x′)y+(x′2+AB​x′y′+AC​y′2−A1​)=0

将直线方程式与通用椭圆方程式联立求解： { y = K x + M x 2 + B A x y + C A y 2 − ( 2 x ′ + B A y ′ ) x − ( 2 C A y ′ + B A x ′ ) y + ( x ′ 2 + B A x ′ y ′ + C A y ′ 2 − 1 A ) = 0 \begin{cases} y=Kx+M\\ x^2+\frac{B}{A}xy+\frac{C}{A}y^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}y'+\frac{B}{A}x' \right) y+\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0\\ \end{cases} {y=Kx+Mx2+AB​xy+AC​y2−(2x′+AB​y′)x−(2AC​y′+AB​x′)y+(x′2+AB​x′y′+AC​y′2−A1​)=0​

x 2 + B A x ( K x + M ) + C A ( K x + M ) 2 − ( 2 x ′ + B A y ′ ) x − ( 2 C A y ′ + B A x ′ ) ( K x + M ) + ( x ′ 2 + B A x ′ y ′ + C A y ′ 2 − 1 A ) = 0 x^2+\frac{B}{A}x\left( Kx+M \right) +\frac{C}{A}\left( Kx+M \right) ^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}y'+\frac{B}{A}x' \right) \left( Kx+M \right) +\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0 x2+AB​x(Kx+M)+AC​(Kx+M)2−(2x′+AB​y′)x−(2AC​y′+AB​x′)(Kx+M)+(x′2+AB​x′y′+AC​y′2−A1​)=0

x 2 + B A K x 2 + B A M x + C A ( K 2 x 2 + 2 K M x + M 2 ) − ( 2 x ′ + B A y ′ ) x − ( 2 C A K x y ′ + 2 C A M y ′ + B A K x x ′ + B A M x ′ ) + ( x ′ 2 + B A x ′ y ′ + C A y ′ 2 − 1 A ) = 0 x^2+\frac{B}{A}Kx^2+\frac{B}{A}Mx+\frac{C}{A}\left( K^2x^2+2KMx+M^2 \right) -\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-\left( 2\frac{C}{A}Kxy'+2\frac{C}{A}My'+\frac{B}{A}Kxx'+\frac{B}{A}Mx' \right) +\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0 x2+AB​Kx2+AB​Mx+AC​(K2x2+2KMx+M2)−(2x′+AB​y′)x−(2AC​Kxy′+2AC​My′+AB​Kxx′+AB​Mx′)+(x′2+AB​x′y′+AC​y′2−A1​)=0

x 2 + B A K x 2 + B A M x + C A K 2 x 2 + 2 C A K M x + C A M 2 − ( 2 x ′ + B A y ′ ) x − 2 C A K y ′ x − 2 C A M y ′ − B A K x ′ x − B A M x ′ + ( x ′ 2 + B A x ′ y ′ + C A y ′ 2 − 1 A ) = 0 x^2+\frac{B}{A}Kx^2+\frac{B}{A}Mx+\frac{C}{A}K^2x^2+2\frac{C}{A}KMx+\frac{C}{A}M^2-\left( 2x'+\frac{B}{A}y' \right) x-2\frac{C}{A}Ky'x-2\frac{C}{A}My'-\frac{B}{A}Kx'x-\frac{B}{A}Mx'+\left( x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0 x2+AB​Kx2+AB​Mx+AC​K2x2+2AC​KMx+AC​M2−(2x′+AB​y′)x−2AC​Ky′x−2AC​My′−AB​Kx′x−AB​Mx′+(x′2+AB​x′y′+AC​y′2−A1​)=0

( 1 + B A K + C A K 2 ) x 2 + ( B A M + 2 C A K M − 2 x ′ − B A y ′ − 2 C A K y ′ − B A K x ′ ) x + ( C A M 2 − 2 C A M y ′ − B A M x ′ + x ′ 2 + B A x ′ y ′ + C A y ′ 2 − 1 A ) = 0 \left( 1+\frac{B}{A}K+\frac{C}{A}K^2 \right) x^2+\left( \frac{B}{A}M+2\frac{C}{A}KM-2x'-\frac{B}{A}y'-2\frac{C}{A}Ky'-\frac{B}{A}Kx' \right) x+\left( \frac{C}{A}M^2-2\frac{C}{A}My'-\frac{B}{A}Mx'+x'^2+\frac{B}{A}x'y'+\frac{C}{A}y'^2-\frac{1}{A} \right) =0 (1+AB​K+AC​K2)x2+(AB​M+2AC​KM−2x′−AB​y′−2AC​Ky′−AB​Kx′)x+(AC​M2−2AC​My′−AB​Mx′+x′2+AB​x′y′+AC​y′2−A1​)=0

最终得到一元二次方程式为： ( A + B K + C K 2 ) x 2 + ( B M + 2 C K M − 2 A x ′ − B y ′ − 2 C K y ′ − B K x ′ ) x + ( C M 2 − 2 C M y ′ − B M x ′ + A x ′ 2 + B x ′ y ′ + C y ′ 2 − 1 ) = 0 \left( A+BK+CK^2 \right) x^2+\left( BM+2CKM-2Ax'-By'-2CKy'-BKx' \right) x+\left( CM^2-2CMy'-BMx'+Ax'^2+Bx'y'+Cy'^2-1 \right) =0 (A+BK+CK2)x2+(BM+2CKM−2Ax′−By′−2CKy′−BKx′)x+(CM2−2CMy′−BMx′+Ax′2+Bx′y′+Cy′2−1)=0

综合前期 ⇒ 记 { K = − k m M = − n m \Rightarrow \text{记}\begin{cases} K=-\frac{k}{m}\\ M=-\frac{n}{m} \end{cases} ⇒记{K=−mk​M=−mn​​

⇒ 记 {   A = c o s 2 θ a 2 + s i n 2 θ b 2 B = 2 s i n θ c o s θ ( 1 a 2 − 1 b 2 ) C = s i n 2 θ a 2 + c o s 2 θ b 2 \Rightarrow \text{记}\begin{cases} \,A=\frac{cos^2\theta}{a^2}+\frac{sin^2\theta}{b^2}\\ B=2sin\theta cos\theta \left( \frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2} \right)\\ C=\frac{sin^2\theta}{a^2}+\frac{cos^2\theta}{b^2}\\ \end{cases} ⇒记⎩⎪⎨⎪⎧​A=a2cos2θ​+b2sin2θ​B=2sinθcosθ(a21​−b21​)C=a2sin2θ​+b2cos2θ​​

椭圆中心点坐标 ( x ′ , y ′ ) \left( x',y' \right) (x′,y′)

以上所述以及结合韦达定理，可得直线与任意椭圆交点：

韦 达 定 理 { a x 2 + b x + c = 0 ( a , b , c ∈ R , a ≠ 0 ) x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a ； x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a Δ = b 2 − 4 a c { Δ > 0 方程有两个不相等的实根 Δ = 0 方程有两个相等的实根 Δ < 0 方程有两个复根 x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a + − b − b 2 − 4 a c 2 a = − b a x 1 ⋅ x 2 = − b + b 2 − 4 a c 2 a × − b − b 2 − 4 a c 2 a = c a 韦达定理\begin{cases} ax^2+bx+c=0\left( a,b,c\in R,a\ne 0 \right)\\ x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\text{；}x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ \Delta =b^2-4ac\\ \begin{cases} \Delta >0& \text{方程有两个不相等的实根}\\ \Delta =0& \text{方程有两个相等的实根}\\ \Delta 0Δ=0Δ