衔接前篇

以下资料均为笔记整理：

梯度的计算

在微积分中，一维函数的一阶微分方程的基本定义如下：

而图像是一个二维函数f(x,y)，其一阶偏微分方程如下：

该二元函数f(x,y)在某点的梯度为：

梯度的方向是函数变化最快的方向，沿着梯度的方向容易找到最大值。简单的理解就是梯度即变化率，说明在这个方向上有函数存在变化。

关于梯度的方向是函数变化最快的方向的详细解释，

请参见:《为什么梯度反方向是函数值下降最快的方向？》

https://blog.csdn.net/weixin_40807247/article/details/82755087

其中f(x+v)中的v代表单位向量

图像梯度

● 模糊图像中的物体轮廓不明显，轮廓边缘灰度变化不强烈，层次感不强；

● 清晰图片中的物体轮廓边缘灰度变化明显，层次感强。

那么这种灰度变化明显不明显怎么去定义呢？可以使用导数（梯度），衡量图像灰度的变化率，因为图像就是函数。

因为图像是按照像素来离散的，所以图像可以视为一个离散的二维函数，

ϵ即相邻两个刻度之间距离，ϵ不能无限小，最小的ϵ就是1像素，

因此，上面的图像微分变式得到如下等式（ϵ=1）：

分别表示图像在(x, y)点处x方向和y方向上的梯度，

因此，图像的梯度相当于2个相邻像素之间的差值。

用梯度来增强图像清晰度的原理

如下图所示，在x方向上，选取某个像素（假设其像素值为100）沿x方向的相邻像素分别是90,90,90，则根据上面的计算其x方向梯度(偏微分;函数变化率)分别是10,0,0。这里只取变化率的绝对值，表明变化的大小即可。

而100和90之间亮度仅相差10，改变化并不明显，所当很少的100与一大片90的连续灰度值在一起时，轮廓必然是模糊的。

不难发现，

● 如果相邻像素灰度值有变化，那么梯度就有值；

● 如果相邻像素灰度值没有变化，那么梯度就为0。

如果把梯度值与对应的像素相加，那么

● 有梯度值的，灰度值变大了；(如图100->110)

● 梯度就为0的，灰度值也没有变化，则像素值也不变。(如图90->90)

原图像像素点100与90亮度只相差10，现在相加后的新图像是110与90，亮度相差20。

这样以来，对比度显然增强了，尤其是图像中物体的轮廓和边缘，与背景大大加强了区别，这就是用梯度来增强图像清晰的原理。

用绝对值来近似平方和平方根以降低计算量

将图像两个方向结合起来就可以得到图像函数f(x,y)梯度表达式：

其中Gx、Gy表示x方向和y方向的梯度。

幅度：

方向角：

对于图像来说，相当于是二维离散函数求梯度，使用差分来近似导数：

Gx(x,y)：x方向梯度，即H(x,y)对x求偏导。

Gy(x,y)：y方向梯度

H(x,y)：像素值

【注】微分是差分的线性部分，简单的理解：

微分用于描述连续对象的差值

差分用于描述离散对象的差值

像素点(x,y)处的梯度值和梯度方向分别是：

可以看到梯度值：

又是平方，又是开方的，计算量比较大，

于是一般用绝对值来近似平方和平方根的操作，来降低计算量：

然后可用以下公式计算梯度方向：

边缘的梯度值大

【注】边缘应该是像素变化大的地方，也就是梯度大的地方而不是梯度变化大的地方。

梯度的方向是函数变化最快的方向，

当函数中存在边缘时，一定有较大的梯度值；

当图像中有比较平滑的部分时，灰度值变化较小，则相应的梯度也较小，

图像处理中把梯度的模简称为梯度，由图像梯度构成的图像成为梯度图像。

参考资料

图像梯度的基本原理：https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/78987096

图像梯度：https://www.cnblogs.com/pacino12134/p/11358698.html