学习图像处理的过程中，刚开始遇到图像梯度和一些算子的概念，这两者到底是什么关系，又有什么不同，一直困扰着我。后来在看到图像分割这一模块后才恍然大悟，其实图像的梯度可以用一阶导数和二阶偏导数来求解。但是图像以矩阵的形式存储的，不能像数学理论中对直线或者曲线求导一样，对一幅图像的求导相当于对一个平面、曲面求导。对图像的操作，我们采用模板对原图像进行卷积运算，从而达到我们想要的效果。而获取一幅图像的梯度就转化为：模板（Roberts、Prewitt、Sobel、Lapacian算子）对原图像进行卷积，不过这里的模板并不是随便设计的，而是根据数学中求导理论推导出来的。下面就逐一分析各梯度算子的推导过程。 

1、知识引入：  在一维连续数集上有函数f(x),我们可以通过求导获得该函数在任一点的斜率，根据导数的定义有： 

在二维连续数集上有函数f(x,y),我们也可以通过求导获得该函数在x和y分量的偏导数，根据定义有： 

2、梯度和Roberts算子：  对于图像来说，是一个二维的离散型数集，通过推广二维连续型求函数偏导的方法，来求得图像的偏导数，即在(x,y)处的最大变化率，也就是这里的梯度：   梯度是一个矢量，则(x,y)处的梯度表示为：  其大小为：  因为平方和平方根需要大量的计算开销，所以使用绝对值来近似梯度幅值：   方向与α(x,y)正交：  其对应的模板为：

上面是图像的垂直和水平梯度，但我们有时候也需要对角线方向的梯度，定义如下：   对应模板为：

2*2大小的模板在概念上很简单，但是他们对于用关于中心点对称的模板来计算边缘方向不是很有用，其最小模板大小为3*3。3*3模板考虑了中心点对段数据的性质，并携带有关于边缘方向的更多信息。

3、Prewitt和Sobel算子：  在3*3模板中：

我如下定义水平、垂直和两对角线方向的梯度：   该定义下的算子称之为Prewitt算子： 

Sobel算子是在Prewitt算子的基础上改进的，在中心系数上使用一个权值2，相比较Prewitt算子，Sobel模板能够较好的抑制（平滑）噪声。  计算公式为：  Sobel算子：

上述所有算子都是通过求一阶导数来计算梯度的，用于线的检测，在图像处理中，通常用于边缘检测。在图像处理过程中，除了检测线，有时候也需要检测特殊点，这就需要用二阶导数进行检测。

4、Lapacian算子：  一阶导数：

二阶导数：

我们感兴趣的是关于点x的二阶导数，故将上式中的变量减1后，得到： 

在图像处理中通过拉普拉斯模板求二阶导数，其定义如下：   对应模板为：   模板中心位置的数字是-8而不是-4，是因为要使这些系数之和为0，当遇到恒定湖对区域时，模板响应应将0。

在用lapacian算子图像进行卷积运算时，当响应的绝对值超过指定阈值时，那么该点就是被检测出来的孤立点，具体输出如下： 

索贝尔算子（Sobel operator）主要用作边缘检测，在技术上，它是一离散性差分算子，用来运算图像亮度函数的灰度之近似值。在图像的任何一点使用此算子，将会产生对应的灰度矢量或是其法矢量。

Sobel卷积因子为：

该算子包含两组3x3的矩阵，分别为横向及纵向，将之与图像作平面卷积，即可分别得出横向及纵向的亮度差分近似值。如果以A代表原始图像，Gx及Gy分别代表经横向及纵向边缘检测的图像灰度值，其公式如下：

具体计算如下：

Gx = (-1)*f(x-1, y-1) + 0*f(x,y-1) + 1*f(x+1,y-1)

      +(-2)*f(x-1,y) + 0*f(x,y)+2*f(x+1,y)

      +(-1)*f(x-1,y+1) + 0*f(x,y+1) + 1*f(x+1,y+1)

= [f(x+1,y-1)+2*f(x+1,y)+f(x+1,y+1)]-[f(x-1,y-1)+2*f(x-1,y)+f(x-1,y+1)]

Gy =1* f(x-1, y-1) + 2*f(x,y-1)+ 1*f(x+1,y-1)

      +0*f(x-1,y) 0*f(x,y) + 0*f(x+1,y)

      +(-1)*f(x-1,y+1) + (-2)*f(x,y+1) + (-1)*f(x+1, y+1)

= [f(x-1,y-1) + 2f(x,y-1) + f(x+1,y-1)]-[f(x-1, y+1) + 2*f(x,y+1)+f(x+1,y+1)]

其中f(a,b), 表示图像(a,b)点的灰度值；

图像的每一个像素的横向及纵向灰度值通过以下公式结合，来计算该点灰度的大小：

通常，为了提高效率 使用不开平方的近似值：

如果梯度G大于某一阀值 则认为该点(x,y)为边缘点。

然后可用以下公式计算梯度方向：

Sobel算子根据像素点上下、左右邻点灰度加权差，在边缘处达到极值这一现象检测边缘。对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方向信息，边缘定位精度不够高。当对精度要求不是很高时，是一种较为常用的边缘检测方法。 　　  

普利维特算子(Prewitt operate)： 

除sobel边缘检测外 还有Prewitt算子， 它的卷积因子如下：

其他计算 和sobel差不多；

Prewitt算子利用像素点上下、左右邻点灰度差，在边缘处达到极值检测边缘。对噪声具有平滑作用，定位精度不够高。

罗伯茨交叉边缘检测（Roberts Cross operator）

卷积因子如下：

灰度公式为：

近似公式为：

具体计算如下：

G(x,y)=abs(f(x,y)-f(x+1,y+1))+abs(f(x,y+1)-f(x+1,y))

灰度方向 计算公式为：

Roberts算子采用对角线方向相邻两像素之差近似梯度幅值检测边缘。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高，对噪声敏感。

【转载】：https://blog.csdn.net/liuxiangxxl/article/details/78226617?locationNum=4&fps=1

                  https://blog.csdn.net/image_seg/article/details/78790968