【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质

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【线性代数（13）】矩阵的特征值与特征向量含义及性质

2024-06-02 04:08:29| 来源: 网络整理| 查看: 265

矩阵的特征值与特征向量 1 基本定义2 性质3 计算例1例2例3 4 特征值与特征向量的性质

注意：由于已经过了大学要考线性代数的年纪，关于矩阵的初等变化、齐次与非齐次方程的求解这种期末考试要计算的问题没有进行梳理

1 基本定义

假设 A A A是方阵（基调：就是特征值和特征方程只试用于方阵），对于一个数 λ \lambda λ，存在非零列向量 α \alpha α，使得 A α = λ α A\alpha = \lambda\alpha Aα=λα，则称 λ \lambda λ为方阵的特征值， α \alpha α称为对应于 λ \lambda λ的特征向量

λ \lambda λ可以为0，但是特征向量不能为0特征向量一定是列向量，而且是非零（参考最初矩阵相乘的七字口诀：中间相等，取两头）在说特征向量的时候，要说对应于特征值的。也就是要先有特征值

根据定义进行推导： λ α − A α = 0 ⇒ ( λ E − A ) α = 0 \lambda\alpha-A\alpha =0 \Rightarrow (\lambda E - A)\alpha = 0 λα−Aα=0⇒(λE−A)α=0，重点来啦，这里的 α \alpha α是非零向量，如果将其换成 x x x，那么就是 ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E - A)x= 0 (λE−A)x=0，也就变成了求解齐次方程组了，前面的方阵就是方程的系数构成的矩阵，然后知道最终的解是非零的，故最终可以推出方阵的行列式为0

为了便于理解，这里举个我自己说服自己理解的栗子：

首先是方阵，那么假设就是 3 ∗ 3 3*3 3∗3，也就是三个方程三个未知数，方程的右边等于0那么方程一定有一个解，就是三个未知数都为0的时候，也就是不管方程的系数取多少，我的未知数都取0，最后计算等式左边和右边都是0现在出现了非零解，说明啥？第一反应就是肯定有两个或者三个方程组是等价的（也就是方程的系数成比例）比如 { x 1 + x 2 + x 3 = 0 5 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = 0 − x 1 + x 2 + 6 x 3 = 0 \begin{cases} x_{1}+x_{2} + x_{3} =0 \\ 5x_{1}+5x_{2}+5x_{3}=0\\ -x_{1} +x_{2} +6x_{3} =0 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧x1+x2+x3=05x1+5x2+5x3=0−x1+x2+6x3=0这样的情况下系数对应的行列式就为0了，存在两行数据成比例

上面就是自己的思维理解过程，不是很严谨，但是特别能说服我自己：齐次方程组存在非零解 ⟺ \iff ⟺ 系数组成的行列式为0

所以最终对于上面的化简式子就有了： ( λ E − A ) x = 0 (\lambda E - A)x= 0 (λE−A)x=0存在非零解 ⟺ ∣ λ E − A ∣ = 0 \iff |\lambda E - A| =0 ⟺∣λE−A∣=0，其中

( λ E − A ) (\lambda E - A) (λE−A)被称为特征矩阵 ∣ λ E − A ∣ |\lambda E - A| ∣λE−A∣为特征多项式 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E - A| =0 ∣λE−A∣=0为特征方程 x x x就是特征方程的解，也成为特征值或者特征根 2 性质

若 λ \lambda λ是 A A A的特征值， α \alpha α为对应于 λ \lambda λ的特征向量

1） A α = λ α ⇒ c A α = c λ α ⇒ A ( c α ) = λ ( c α ) A\alpha = \lambda\alpha \Rightarrow cA\alpha = c\lambda\alpha \Rightarrow A(c\alpha) = \lambda (c \alpha) Aα=λα⇒cAα=cλα⇒A(cα)=λ(cα)， c α c\alpha cα也是对应于 λ \lambda λ的特征向量，所以一个特征值可以对应多个特征向量，但是一个特征向量只能对应一个特征值，打个比方：特征值是父母，特征向量是儿女，正常情况下一对父母可以有多对儿女，但是对于单个的儿子，女儿来说只能有一对父母。2）若 α 1 , α 2 \alpha_{1},\alpha_{2} α1,α2是 λ \lambda λ的特征向量，则 c 1 α 1 + c 2 α 2 c_{1}\alpha_{1}+c_{2}\alpha_{2} c1α1+c2α2也是 λ \lambda λ的特征向量，证明过程：根据公式拆开即可验证 3 计算例1

设 A = ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) A = \left(\begin{matrix} -1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{matrix}\right) A=⎝⎛−1−41130002⎠⎞，求解A的特征值与特征向量

解：

λ E − A = ( λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ) − ( − 1 1 0 − 4 3 0 1 0 2 ) = ( λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ) \lambda E-A = \left(\begin{matrix} \lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{matrix}\right)- \left(\begin{matrix} -1&1&0\\-4&3&0\\1&0&2\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \lambda+1&-1&0\\4& \lambda-3&0\\1&0& \lambda-2\end{matrix}\right) λE−A=⎝⎛λ000λ000λ⎠⎞−⎝⎛−1−41130002⎠⎞=⎝⎛λ+141−1λ−3000λ−2⎠⎞ 提取行列式，问题就在于系数行列式的求解

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ + 1 − 1 0 4 λ − 3 0 1 0 λ − 2 ∣ |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda+1&-1&0\\4& \lambda-3&0\\1&0& \lambda-2\end{vmatrix} ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ+141−1λ−3000λ−2∣∣∣∣∣∣

求解思路：

1）完全展开，得三次方程，很难解，比如 λ 3 + λ 2 + 1 = 9 \lambda^{3} + \lambda^{2} + 1 =9 λ3+λ2+1=9 。这种方法只能蒙，不建议使用2）把某行尽量转化为0，然后按照该行进行展开3）提公因子（最好含 λ \lambda λ）4）相邻两项相同（行、列），行和或者列和相等

比如按照最后一列进行展开 ∣ λ E − A ∣ = ( λ − 2 ) ( − 1 ) 3 + 3 ∣ λ + 1 1 − 4 λ − 3 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 1 ) ( λ − 1 ) |\lambda E-A| = (\lambda-2)(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} \lambda+1&1\\-4& \lambda-3\end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-1) ∣λE−A∣=(λ−2)(−1)3+3∣∣∣∣λ+1−41λ−3∣∣∣∣=(λ−2)(λ−1)(λ−1)

最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 1 , λ 3 = 2 \lambda_{1}=\lambda_{2}=1,\lambda_{3}=2 λ1=λ2=1,λ3=2(注意重根一定要写出来)

求解特征值对应的特征方程 ① 当 λ 1 = λ 2 = 1 \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 λ1=λ2=1时 λ 1 E − A = ( 2 − 1 0 4 − 2 0 1 0 − 1 ) \lambda_{1} E-A = \left(\begin{matrix} 2&-1&0\\4& -2&0\\1&0&-1\end{matrix}\right) λ1E−A=⎝⎛241−1−2000−1⎠⎞ ②当 λ 3 = 2 \lambda_{3}=2 λ3=2时 λ 3 E − A = ( 3 − 1 0 4 − 1 0 1 0 0 ) \lambda_{3} E-A = \left(\begin{matrix} 3&-1&0\\4& -1&0\\1&0&0\end{matrix}\right) λ3E−A=⎝⎛341−1−10000⎠⎞

老师视频里抄错了，就溜了，哈哈哈，接下来进行一个详细的求解例题

注意： ∣ λ E − A ∣ |\lambda E-A| ∣λE−A∣中 λ \lambda λ只在对角线上存在；A中所有的元素都取相反数

例2

设 A = ( 1 − 2 2 − 2 − 2 4 2 4 − 2 ) A = \left(\begin{matrix} 1&-2&2\\-2&-2&4\\2&4&-2\end{matrix}\right) A=⎝⎛1−22−2−2424−2⎠⎞，求解A的特征值与特征向量

解：

∣ λ E − A ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 − 2 − 4 λ + 2 ∣ = ∣ λ − 1 2 − 2 2 λ + 2 − 4 0 λ − 2 λ − 2 ∣ = ( λ − 2 ) ( λ − 2 ) ( λ + 7 ) |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda-1&2&-2\\2& \lambda+2&-4\\-2&-4& \lambda+2\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \lambda-1&2&-2\\2& \lambda+2&-4\\0&\lambda-2& \lambda-2\end{vmatrix} = ( \lambda-2)( \lambda-2)( \lambda+7) ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ−12−22λ+2−4−2−4λ+2∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣λ−1202λ+2λ−2−2−4λ−2∣∣∣∣∣∣=(λ−2)(λ−2)(λ+7)

最终计算出来的 λ 1 = λ 2 = 2 , λ 3 = − 7 \lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=-7 λ1=λ2=2,λ3=−7(注意重根一定要写出来)

规范化的求解步骤： ① λ 3 = − 7 \lambda_{3}=-7 λ3=−7时，对于 λ E − A \lambda E-A λE−A矩阵，直接将上面计算行列式的第一步的结果拿来带入 λ 3 \lambda_{3} λ3的值，只做初等行变换，化为行简化阶梯型，解出同解方程组 λ 3 E − A = ( − 8 2 − 2 2 − 5 − 4 − 2 − 4 − 5 ) = ( 1 0 − 0.5 0 1 1 0 0 0 ) ⇒ { x 1 = − 0.5 x 3 x 2 = − x 3 \lambda_{3} E-A = \left(\begin{matrix} -8&2&-2\\2&-5&-4\\-2&-4&-5\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&0&-0.5\\0&1&1\\0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-0.5 x_{3} \\ x_{2}=- x_{3} \end{cases} λ3E−A=⎝⎛−82−22−5−4−2−4−5⎠⎞=⎝⎛100010−0.510⎠⎞⇒{x1=−0.5x3x2=−x3

解出： x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = − 2 x_{1} = 1,x_{2}=2,x_{3}=-2 x1=1,x2=2,x3=−2，所以对应的特征向量就为： c 1 ( 1 2 2 ) c_{1}\left(\begin{matrix} 1\\2\\2\end{matrix}\right) c1⎝⎛122⎠⎞，其中 c 1 ≠ 0 c_{1}\not =0 c1=0

② λ 1 = λ 2 = 2 \lambda_{1}=\lambda_{2}=2 λ1=λ2=2 λ 1 E − A = ( 1 2 − 2 2 4 − 4 − 2 − 4 4 ) = ( 1 2 − 2 0 0 0 0 0 0 ) ⇒ x 1 = − 2 x 2 + 2 x 3 \lambda_{1} E-A = \left(\begin{matrix} 1&2&-2\\2&4&-4\\-2&-4&4\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 1&2&-2\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) \Rightarrow x_{1}=-2 x_{2}+2x_{3} λ1E−A=⎝⎛12−224−4−2−44⎠⎞=⎝⎛100200−200⎠⎞⇒x1=−2x2+2x3

此时取 x 2 , x 3 x_{2},x_{3} x2,x3分别为 ( 1 0 ) \left(\begin{matrix} 1\\0\end{matrix}\right) (10)和 ( 0 1 ) \left(\begin{matrix} 0\\1\end{matrix}\right) (01)，计算出特征向量为 c 2 ( − 2 1 0 ) + c 3 ( 2 0 1 ) c_{2}\left(\begin{matrix} -2\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{3}\left(\begin{matrix} 2\\0\\1\end{matrix}\right) c2⎝⎛−210⎠⎞+c3⎝⎛201⎠⎞，其中 c 2 , c 3 c_{2},c_{3} c2,c3不能同时为0

例3

设 A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A = \left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) A=⎝⎛000000000⎠⎞，求解A的特征值与特征向量

解： ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ∣ = λ 3 = 0 ⇒ λ = 0 |\lambda E-A| = \begin{vmatrix} \lambda&0&0\\0& \lambda&0\\0&0& \lambda\end{vmatrix} = \lambda^{3}=0 \Rightarrow \lambda = 0 ∣λE−A∣=∣∣∣∣∣∣λ000λ000λ∣∣∣∣∣∣=λ3=0⇒λ=0

然后将 λ \lambda λ带入，求出对应的矩阵 λ E − A = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) \lambda E-A = \left(\begin{matrix} 0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{matrix}\right) λE−A=⎝⎛000000000⎠⎞

那么问题就来了，化为行简化阶梯型，其中有1的放在在左边，其余的放在右边，所以这里的 x 1 , x 2 , x 3 x_{1},x_{2},x_{3} x1,x2,x3都是自由未知量，按照特征向量的定义，必须是要非零的列向量，所以最终的结果为 c 1 ( 1 0 0 ) + c 2 ( 0 1 0 ) + c 3 ( 0 0 1 ) c_{1}\left(\begin{matrix} 1\\0\\0\end{matrix}\right)+c_{2}\left(\begin{matrix} 0\\1\\0\end{matrix}\right)+c_{3}\left(\begin{matrix} 0\\0\\1\end{matrix}\right) c1⎝⎛100⎠⎞+c2⎝⎛010⎠⎞+c3⎝⎛001⎠⎞，其中 c 1 , c 2 , c 3 c_{1},c_{2},c_{3} c1,c2,c3不能同时为0

4 特征值与特征向量的性质

性质：

1） A A A和 A T A^{T} AT有相同的特征值，但是特征向量不一定相同证明： ∣ λ E − A T ∣ = ∣ λ E T − A T ∣ = ∣ ( λ E − A ) T ∣ = ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda E-A^{T}| = |\lambda E^{T}-A^{T}|=|(\lambda E - A)^{T}|=|\lambda E-A|=0 ∣λE−AT∣=∣λET−AT∣=∣(λE−A)T∣=∣λE−A∣=02）若 ∑ ∣ a i j < 1 , i = 1 , 2 , . . . , n ∣ \sum|a_{ij}

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