贾续毅，熊 靖

（西北工业大学，西安 710100）

同一元函数类似，多元函数在现代经济学、管理学领域方面的应用也很广泛，应用多元函数的可微性、全微分、条件极值的概念和理论可以对多元函数的最大值和最小值问题进行求解。在运筹学中，最值问题也即是最优化问题，自变量即是决策变量，最值函数即是目标函数。应用多元函数的极值可以刻画多元函数的局部性质。通过多元函数微分学中的性质方法可以解决一些经济方面的最优化、决策问题。

将一元函数推广为二元函数，并给出如下定义：设函数z=（fx，y）在点的某个邻域上有定义，该邻域中的点P（x，y）=（x0+Δx，y0+Δy）。如果用AΔx+BΔy+o（h）表示该函数在 P0处的全增量 Δz。A 和 B 是与点P0相关的常数，而，o（h）是 h 的高阶无穷小量，那么函数在P0处可微，并且AΔx+BΔy是该函数在P0处的全微分。

在处理极值问题时，要明确，对于函数f，如果不带有约束条件，且满足f（P）≥f（P0）或者f（P）≤f（P0），则点P0称为f的极小值点或极大值点，其对应的函数值为极小值或极大值。在讨论这些极值点时，要注意仅限制于定义域的内点。在实际应用当中，通常通过判断函数f在点P0处的偏导数的值来判断它的稳定点进而确定它的极值点，判别方法是若存在fx（x0，y0）=0，fy（x0，y0）=0，则P0为f的稳定点。求出的稳定点可能还不是极值点，这时再结合经济问题中的实际意义，确定决策变量的取值，将这些稳定点和端点处的目标函数值进行对比，最终求出极值。

对于函数f，如果带有约束条件，可引入Lagrange求值法进行求解，当约束条件为一个时，构造Lagrange函数L（x）=f（x1，x2）+φ·g（x1，x2）。其中，φ称为Lagrange乘数，g（x1，x2）为一个约束条件，求出该函数对于 x1、x2的偏导数，然后令它等于0，再与约束条件联立，即：

求解这三个方程，可得到 x1、x2、φ 的值，而点（x1，x2）则为函数y=f（x1，x2）的满足约束条件的极值点。在经济应用方面，通常情况下，决策变量和约束条件往往不唯一。因此，还需要将Lagrange函数推广到一般情况下的n维：

式中，φ1，φ2，…，φn为 Lagrange 乘数。此时，可将问题转化为寻找决策变量被多个条件限制的多元函数的极值方法，此方法将这个有着n个决策变量与p个约束条件的条件极值问题变为一个n+p个变量的方程组的极值问题。对上述构造的函数f，g，如果满足如下4个条件：一是f，g 在 D 内有连续的导数；二是 g（x0）=g（x1，x2）=0；三是；四是 x0=（x1，x2）是 f在=0条件下的极值点。则∃A0∈Rm，s.t（.x0，A0）是式所设的函数L的稳定点，即=0。

当函数存在多个自变量时，求目标函数的极值问题通常需要利用其偏导数的概念与性质，为经济生产中提供最优生产决策的理论支持。

某地区有一垄断企业，生产两种产品x1和x2，假设这两种产品的需求都是线性的，其需求函数分别为：

若将t1与t2看作未知元（表示产品x1与x2的单价，单位为元），把以上两个方程表示为矩阵形式：

用Cramer法则解得：

即这两种产品的反需求函数为：

值得认识的是，上述反需求函数所表示的是：两种产品为互为替代品时，一种产品的产量以负数进入另外一种产品的反需求函数。若其中一种产品（假设为x1）产量上升，则可能引起x1价格的回落，进而导致消费者降低对产品x2的需求，从而使对应于任意已知的产品产量x2的t2值同时下降。

假定该企业的这两种产品的生产成本函数关系为：

R=16 200+13x1+19x2

则该企业生产销售这两种产品的所得利润是：

再次用Cramer法则求得使企业利润最大化的产品产量为：

由此确定最大利润对应下的产品单价（单位为元）：

t1=301.49 t2=425.82

通过以上结果得出该企业的最大利润（单位为元）：

wmax=23 934.56

当多个自变量存在且满足一定关系的求目标函数的极值问题称为条件极值问题，使用Lagrange数乘法不失为一种简便快捷的方法，在经济领域的生产销售问题中起指导意义。

某制造商制造某种产品的两个生产要素——劳动力和资本分别为x1与x2。该产品的Cobb-Douglas（柯布—道格拉斯）生产函数（单位为元）：

倘若该制造商制造该产品所需的单位劳动力的成本和单位资本的成本分别为240和480元，该制造商对本产品的总投入为98 000元，应如何分配资金使生产量达到最大值（条件极值问题）。

分析与解决：

本案例为一条件极值问题，其划归为数学模型则是求y=f（x1，x2）在条件240x1+480x2=98 000的约束下的最大值。

利用Lagrange（拉格朗日）数乘法，构造Lagrange函数：

因而该制造商在单位劳动力成本为240元，单位资本成本为80元的条件下可以得到最大产量y=f（x1，x2）=185 585.47元。

多元函数的全微分的相关性质反映了当自变量发生增量Δx时对应函数所引起的变化，在经济中应用于动态分析。

某地区一民营企业的年产品产量由其所投入产品生产的新式设备数目x1和旧式设备数目x2共同决定。年产量S满足。假如该民营企业原本投入新式设备15台、旧式设备30台进行生产，现计划再引进新式设备1台，则需要减少多少台旧式设备才能保持企业的年产量无变化。

利用二阶导数的全微分性质得：

故若在题设条件下，新式设备增加1台，需使旧式设备减少1台才能保持企业年产量不发生变化。

多元函数微分学可以为当今供给侧结构性改革与促进需求的市场经济下一些决策的制定、问题的解决提供理论性工具。通过对多元函数的极值、全微分性质，以及拉格朗日乘数法的分析与探究，将经济生活中出现的条件极值、最优化问题进行剖析，建立相关的数学模型并进行精确求解，为企业生产要素的合理分配、利润的合理最大化，以及消费者需求、利益安排的最优化策略提供解决方法。

经济研究导刊2018年25期