Développement limité racine 1+x

Calcul de développement limité

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La notion de développement limité généralise l’approximation affine pour les fonctions dérivables. En effet, une fonction f est dérivable en un réel a de son domaine de définition si et seulement si elle admet un développement limité à l’ordre 1 et dans ce cas ce développement s’écritf(x) = f(a) + f′(a) × (x − a)+ ox→a (x − a).

1

/

(

1 − x

)

=

∑

k=0n

xk+

o

x→0

(xn)

1

/

(

1 + x

)

=

∑

k=0n

(−1)kxk+

o

x→0

(xn)

(1 + x)α= 

∑

k=0n

(

∏

j=0k−1

(α − j)

)

xk

/

k!

+

o

x→0

(xn)

= 1 + αx+

α(α − 1)

/

2

x2+ …+

α(α − 1)(α − 2)…(α − n + 1)

/

n!

xn+

o

x→0

(xn)

ln(1 + x) =

∑

k=1n

(−1)k+1

/

k

xk+

o

x→0

(xn)

exp(x) =

∑

k=0n

xk

/

k!

+

o

x→0

(xn)

sin(x) =

∑

k=0n

(−1)k

/

(2k + 1)!

x2k+1+

o

x→0

(x2n+2)

cos(x) =

∑

k=0n

(−1)k

/

(2k)!

x2k+

o

x→0

(x2n+1)

En particulier, on peut obtenir le développement limité à l’ordre 3 en 0 avec la fonction racine carrée par√1 + x= (1 + x)1/2= 1 + 1/2 x+ (1/2 × −1/2) x2/2+ (1/2 × −1/2 × −3/2) x3/6+ ox→0 (x3).

En pratique, il suffit souvent d’exploiter les développements limités d’ordre inférieur à 5.

1

/

(

1 + x

)

= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5+

o

x→0

(x5)

ln(1 + x) = x −

x2

/

2

+

x3

/

3

−

x4

/

4

+

x5

/

5

+

o

x→0

(x5)

exp(x) = 1 + x +

x2

/

2

+

x3

/

6

+

x4

/

24

+

x5

/

120

+

o

x→0

(x5)

sin(x) = x −

x3

/

6

+

x5

/

120

+

o

x→0

(x5)

 et 

cos(x) = 1 −

x2

/

2

+

x4

/

24

+

o

x→0

(x5)

On peut additionner et multiplier des développements limités entre eux, avec les règles opératoires suivantes : pour tout (p, q) ∈ N2,xp × ox→0 (xq)= ox→0 (xp + q),ox→0 (xp) × ox→0 (xq)= ox→0 (xp + q)et si p ≤ q,ox→0 (xp) + ox→0 (xq)= ox→0 (xp).

On peut aussi diviser un développement limité par une puissance, auquel cas on divise tous les termes de la partie régulière mais aussi la puissance dans le petit « o ».

On ne soustrait pas des termes en petit « o » : pour tout λ ∈ R∗,λ × ox→0 (xp) = ox→0 (xp), même lorsque le coefficient λ est négatif.

Pour déterminer le développement limité d’une fonction f en un réel a ≠ 0,on calcule f(a + h)en fonction de la variable het on cherche un éventuel développement limité de l’expression obtenue lorsque h tend vers 0. Puis on remplace h par x − a.

Si f est une fonction réelle admettant un développement limité au voisinage d’un réel aet si g est une fonction réelle admettant un développement limité au voisinage du réel b = f(a)alors (g ∘ f) admet un développement limité au voisinage de aobtenu en remplaçant la variable de g par l’expression du développement limité de fet en éliminant tous les termes de degré supérieur à celui du petit « o » le plus bas.

Si une fonction f est dérivable en un réel a et si sa dérivée admet un développement limité à l’ordre n ∈ N en af′(x)= ∑k=0n akxk+ ox→0 (xn)alors f admet un développement limité à l’ordre (n + 1) en a sous la formef(x)= f(a) + ∑k=0n ak xk+1/(k+1)+ ox→0 (xn+1).

Cette propriété permet de démontrer la formule de Taylor-Young pour toute fonction f qui soit n fois dérivable en un réel a :f(x) = ∑k=0n (x − a)k / k! f(k)(a)+ ox→a ((x − a)n).

Les développements limités (DL) sont employés en maths (pour déterminer la convergence d’une suite) et en physique (pour remplacer l’expression d’une fonction compliquée par une fonction approchée, plus facile à exploiter).

Voici une fiche des développement limités (au voisinage de 0) les plus utilisés :

Pour une question de place, nous avons décidé de ne pas mettre les fonctions hyperboliques dans ce tableau, car ce sont les mêmes que les fonctions cosinus et sinus, avec uniquement des symboles (+) à la place des symboles (-).

Les astuces qui vont suivre ne concernent uniquement les premiers termes (à droite de la fiche), en effet, lors d’un exercice ou d’une approximation de courbe, ce sont généralement les premiers termes des DL que l’on utilise, et non l’ordre n.

Remarque : Il est possible de retrouver les premiers termes de ces fonctions avec la formule de Taylor-Young, cependant il est plus aisé et rapide de se souvenir directement des développements usuels lors d’un examen où le temps est limité, par exemple.

Astuces :

Après avoir observé ces DL pendant des heures, on a finalement réussi à trouver des points communs entre toutes ces relations, ce qui peut faciliter leur apprentissage !

Tout d’abord, cela n’est pas précisé sur la fiche ci-dessus, mais pour l’astuce, il est nécessaire expliciter le nom des fonctions :

cos(x) correspond à la fonction cosinus, sin(x) à la fonction sinus, ch(x) à la fonction cosinus hyperbolique, sh(x) à la fonction sinus hyperbolique, ex correspond à la fonction exponentielle, ln(1+x) correspond à une fonction logarithme, 1/(1+x) à la fonction « fraction positive », 1/(1-x) à la fonction « fraction négative », √(1+x) correspond à la fonction racine carrée et enfin, √(1/(1+x)) à la fonction « fraction racine carrée ».

Astuce 1 : On remarque que toutes les fonctions ci-dessus, qui possèdent la lettre « a » dans leur nom, possèdent aussi le signe (-) juste après le tout premier terme, en effet c’est le cas des fonctions : logarithme, fractions, et des fonctions sinusoïdales (cosinus et sinus).

Cas particulier pour la fonction racine carrée, il y a deux « a », ainsi le signe (-) se trouve juste après le deuxième terme !

Astuce 2 : On remarque ensuite que pour toutes les fonctions possédant la lettre « c » dans leur nom, celles-ci possèdent aussi le chiffre 1 en tout premier terme, en effet c’est le cas des fonctions : cosinus, fractions, et racine.

Cas particulier pour la fonction exponentielle, celle-ci commence par un 1, pourtant il n’y a pas de « c » dans exponentielle, il faut donc penser au terme « etc.. » qui d’ailleurs représente bien quelque chose d’exponentiel !

Remarque : Ces deux astuces (« a : (-) » et « c : (1) ») complètent aussi les astuces logiques, comme le fait que sin(0) = 0 donc le DL de sinus commence à x, ou encore que ln(1+0) = ln(1) = 0 donc le DL du logarithme commence à x aussi.

Autre remarque :

L’astuce fonctionne aussi avec les équivalents usuels !

On remarque que pour la première ligne, on a les équivalents liés à l’exponentiel, la puissance, la racine carrée, le cosinus et le cosinus hyperbolique. Leur point commun ? Ces cinq équivalents possèdent un c dans leurs noms (ou la sonorité d’un c pour exponentiel), ainsi ils seront toujours suivis d’un (-1) pour donner un équivalent !

A l’inverse, dans la ligne du dessous qui comprend le logarithme, le sinus, le sinus hyperbolique, la tangente, et la tangente hyperbolique, aucun ne possède la lettre c dans leurs noms, il n’y a donc pas de (-1) !

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