\({\color{Red}{欢迎到学科网下载资料学习 }}\) [ 【高分突破系列】高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义与分层练习] (https://www.zxxk.com/docpack/2783085.html) \({\color{Red}{ 跟贵哥学数学，so \quad easy！}}\)

必修第一册同步拔高练习，难度3颗星！

(理解公式的推导，体会其方法，而不死背公式)

① 余弦两角和差公式

推导如下 如图，设单位圆与\(x\)轴的正半轴相交于点\(A(1 ,0)\)，以\(x\)轴为非负半轴为始边作角\(α\)，\(β\)，\(α-β\)，它们的终边分别与单位圆相较于点\(P_1 (\cosα ,\sinα)\)，\(A_{1}(\cos \beta, \sin \beta)\)，\(P(\cos (\alpha-\beta), \sin (\alpha-\beta))\)，连接\(A_1 P_1\)，\(AP\)，若把扇形\(OAP\)绕点\(O\)旋转\(β\)角，则点\(A\)，\(P\)分别与$A_1 $ ,\(P_1\)重合.根据圆的旋转对称性可知，\(\widehat{A P}\)与\(\overline{A_{1} P_{1}}\)重合，从而\(\widehat{A P}=\widehat{A_{1} P_{1}}\)，所以\(AP=A_1 P_1\).

根据两点间的距离公式，得 \([\cos (\alpha-\beta)-1]^{2}+\sin ^{2}(\alpha-\beta)=(\cos \alpha-\cos \beta)^{2}+(\sin \alpha-\sin \beta)^{2}\) 化简得 \(\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta\) 而 \(\cos (\alpha+\beta)=\cos [\alpha-(-\beta)]=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta\)  

② 正弦两角和差公式

推导如下 \(\begin{aligned} \sin (\alpha+\beta) &=\cos \left[\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\beta\right] \\ &=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos \beta+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \sin \beta \\ &=\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta \end{aligned}\) \(\begin{aligned} \sin (\alpha-\beta) &=\cos \left[\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)+\beta\right] \\ &=\cos \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \cos \beta-\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right) \sin \beta \\ &=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta \end{aligned}\)  

③ 正切两角和差公式

(由\(S_{(\alpha \pm \beta)} 、 C_{(\alpha \pm \beta)}\)可推导正切的和差角公式)

  对公式中\(α\)、\(β\)的理解，他们可表示为一个数字、一个字母，甚至一个式子 \({\color{Red}{Eg}}\)：① \(\sin 75^{\circ}=\sin \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right)\)\(=\sin 45^{\circ} \cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ} \sin 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) 对应公式\(\sin (\alpha \pm \beta)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta\)，把\(α\)看成数字\(45°\) ,\(β\)看成数字\(30^°\)； ② \(\cos \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos x \cdot \cos \dfrac{\pi}{3}-\sin x \cdot \sin \dfrac{\pi}{3}\) 对应公式\(\cos (α+β)=\cos α \cos β-\sin α \sin β\)，把\(α\)看成字母\(x\)，\(β\)看成数字\(\dfrac{\pi}{3}\)； ③\(\tan \dfrac{\pi}{4}=\tan \left[\left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)+\left(\dfrac{\pi}{8}-x\right)\right]\)\(=\dfrac{\tan \left(x+\dfrac{\pi}{8}\right)+\tan \left(\dfrac{\pi}{8}-x\right)}{1-\tan \left(x+\dfrac{\pi}{8}\right) \tan \left(\dfrac{\pi}{8}-x\right)}\)， 对应公式\(\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\)，把\(α、β\)分别看成式子\(x+\dfrac{\pi}{8}\)，\(x-\dfrac{\pi}{8}\). 对应公式的运用，注意整体变换的思想.  

\(a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin (x+\varphi)\) 其中\(\tan \varphi=\dfrac{b}{a}\). 熟记两个特殊角的化简过程 \((1) a:b=1:1\)型，配\(\dfrac{\pi}{4}\)

\((2)a: b=\sqrt{3}: 1\)型，配\(\dfrac{\pi}{6}\)或\(\dfrac{\pi}{3}\)

【典题1】 计算\(\sin 25^{\circ} \sin 70^{\circ}-\cos 155^{\circ} \sin 20^{\circ}=\)\(\underline{\quad \quad}\) . 【解析】 \(\sin 25^{\circ} \sin 70^{\circ}-\cos 155^{\circ} \sin 20^{\circ}\) \({\color{Red} {(大角化小角)}}\) \(\begin{aligned} &=\sin 25^{\circ} \cos 20^{\circ}+\cos 25^{\circ} \sin 20^{\circ} \\ &=\sin \left(25^{\circ}+20^{\circ}\right) \\ &=\sin 45^{\circ} \\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}\)  

【典题2】求\(\tan 27^{\circ}+\tan 33^{\circ}+\sqrt{3} \tan 27^{\circ} \tan 33^{\circ}\) 【解析】 \(\because \tan (27+33)^{\circ}=\tan 60^{\circ}=\sqrt{3}\) \(\therefore \dfrac{\tan 27^{\circ}+\tan 33^{\circ}}{1-\tan 27^{\circ} \tan 33^{\circ}}=\sqrt{3}\) \(\therefore \tan 27^{\circ}+\tan 33^{\circ}=\sqrt{3}-\sqrt{3} \tan 27^{\circ} \tan 33^{\circ}\) \(\therefore \tan 27^{\circ}+\tan 33^{\circ}+\sqrt{3} \tan 27^{\circ} \tan 33^{\circ}=\sqrt{3}\) 【点拨】由\(\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \tan \beta}\)可得 \(\tan \alpha+\tan \beta=\tan (\alpha+\beta)(1-\tan \alpha \tan \beta)\) \(\tan \alpha+\tan \beta+\tan \alpha \tan \beta \tan (\alpha+\beta)=\tan (\alpha+\beta)\)  

【典题3】 若\(\alpha, \beta \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\)，且\(\tan \alpha\)，\(\tan \beta\)是方程\(x^{2}+4 \sqrt{3} x+5=0\)的两个根，则\(α+β=\)\(\underline{\quad \quad}\) . 【解析】由已知可得\(\tan \alpha+\tan \beta=-4 \sqrt{3}\)，\(\tan \alpha \cdot \tan \beta=5\)， \(\therefore \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta}=\dfrac{-4 \sqrt{3}}{1-5}=\sqrt{3}\)． \(\because \alpha, \beta \in\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)\)，且\(\tan \alpha