笔记相关内容： 1.曲面积分(Surface Integral) 2.第一类曲面积分：曲面微元dσ与其投影面积微元dxdy之间的关系推导

第一类曲面积分（对曲面微元dS进行积分）(无方向性) 物理意义： F ( x , y , z ) F(x,y,z) F(x,y,z)为面密度，dS为曲面微元，在曲面 Σ \Sigma Σ上积分得到曲面质量 ∬ Σ F ( x , y , z ) d S \iint\limits_{\Sigma}F(x,y,z)dS Σ∬​F(x,y,z)dS

第二类曲面积分（对坐标dydz、dzdx、dxdy进行积分，注意顺序！要满足右手定则）(有方向性) 平面向量场中的通量度量了单位时间内流体通过曲线的量 空间向量场中的通量度量了单位时间内流体通过单位面积的量，通量由流体通过的表面积来度量 向量场 F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k \bold{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\bold{i}+Q(x,y,z)\bold{j}+R(x,y,z)\bold{k} F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k Σ \Sigma Σ是向量场中的一片有向曲面、 n 0 \bold{n}^0 n0是 Σ \Sigma Σ上点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的单位法向量 下图引自：遇见数学 下图引自：遇见数学 物理意义：向量场 F ( x , y , z ) \bold{F}(x,y,z) F(x,y,z)通过曲面 Σ \Sigma Σ指定侧的通量 ∬ Σ F ⃗ d S ⃗ = ∬ Σ F ⃗ ⋅ n ⃗ 0 d S = ∬ Σ P ( x , y , z ) d y d z + Q ( x , y , z ) d z d x + R ( x , y , z ) d x d y \iint\limits_{\Sigma}\vec{F}d\vec{S}=\iint\limits_{\Sigma}\vec{F}\cdot \vec{n}^0dS=\iint\limits_{\Sigma}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy Σ∬​F dS =Σ∬​F ⋅n 0dS=Σ∬​P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy 曲面 Σ \Sigma Σ的参数化表达式（详见文章开头第二篇相关内容） r ( u , v ) = f ( u , v ) i + g ( u , v ) j + h ( u , v ) k \bold{r}(u,v)=f(u,v)\bold{i}+g(u,v)\bold{j}+h(u,v)\bold{k} r(u,v)=f(u,v)i+g(u,v)j+h(u,v)k

点 P P P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量分别是： r u = ∂ r ( u , v ) ∂ u = ∂ f ( u , v ) ∂ u i + ∂ g ( u , v ) ∂ u j + ∂ h ( u , v ) ∂ u k \bold{r_u}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial u}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial u}\bold{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial u}\bold{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial u}\bold{k} ru​=∂u∂r(u,v)​=∂u∂f(u,v)​i+∂u∂g(u,v)​j+∂u∂h(u,v)​k r v = ∂ r ( u , v ) ∂ v = ∂ f ( u , v ) ∂ v i + ∂ g ( u , v ) ∂ v j + ∂ h ( u , v ) ∂ v k \bold{r_v}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial v}=\frac{\partial f(u,v)}{\partial v}\bold{i}+\frac{\partial g(u,v)}{\partial v}\bold{j}+\frac{\partial h(u,v)}{\partial v}\bold{k} rv​=∂v∂r(u,v)​=∂v∂f(u,v)​i+∂v∂g(u,v)​j+∂v∂h(u,v)​k 点 P P P处的沿 u u u轴和 v v v轴的两个切向量叉乘后得到曲面法向量，然后对其单位化 n ⃗ 0 = r u × r v ∣ r u × r v ∣ \vec{n}^0=\frac{\bold{r_u}×\bold{r_v}}{|\bold{r_u}×\bold{r_v}|} n 0=∣ru​×rv​∣ru​×rv​​ 曲面微元dS d S = ∣ r u × r v ∣ d u d v dS=|\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv dS=∣ru​×rv​∣dudv ∬ Σ F ⃗ d S ⃗ = ∬ Σ F ⃗ ⋅ n ⃗ 0 d S = ∬ Σ F ⃗ ⋅ r u × r v ∣ r u × r v ∣ ⋅ ∣ r u × r v ∣ d u d v = ∬ Σ F ⃗ ⋅ ( r u × r v ) d u d v \iint\limits_{\Sigma}\vec{F}d\vec{S}=\iint\limits_{\Sigma}\vec{F}\cdot \vec{n}^0dS=\iint\limits_{\Sigma}\vec{F}\cdot\frac{\bold{r_u}×\bold{r_v}}{|\bold{r_u}×\bold{r_v}|}\cdot|\bold{r_u}×\bold{r_v}|dudv=\iint\limits_{\Sigma}\vec{F}\cdot(\bold{r_u}×\bold{r_v})dudv Σ∬​F dS =Σ∬​F ⋅n 0dS=Σ∬​F ⋅∣ru​×rv​∣ru​×rv​​⋅∣ru​×rv​∣dudv=Σ∬​F ⋅(ru​×rv​)dudv

第一类曲面积分与第二类曲面积分的关系推导 若我们取 x = u 、 y = v 、 z = f ( x , y ) x=u、y=v、z=f(x,y) x=u、y=v、z=f(x,y)，其中 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)是 x o y xoy xoy平面中区域 R R R上的曲面表达式 参数化后曲面的表示式 r ( u , v ) = u i + v j + f ( u , v ) k \bold{r}(u,v)=u\bold{i}+v\bold{j}+f(u,v)\bold{k} r(u,v)=ui+vj+f(u,v)k 点P处的沿 u u u轴和 v v v轴的切向量分别是： r u = ∂ r ( u , v ) ∂ u = i + f u ′ ( u , v ) k \bold{r_u}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial u}=\bold{i}+f'_u(u,v)\bold{k} ru​=∂u∂r(u,v)​=i+fu′​(u,v)k r v = ∂ r ( u , v ) ∂ v = j + f v ′ ( u , v ) k \bold{r_v}=\frac{\partial \bold{r}(u,v)}{\partial v}=\bold{j}+f'_v(u,v)\bold{k} rv​=∂v∂r(u,v)​=j+fv′​(u,v)k r u × r v = ∣ i j k 1 0 f u ′ 0 1 f v ′ ∣ = − f u ′ i − f v ′ j + k \bold{r_u}×\bold{r_v}=\left | \begin{matrix} \bold{i}&\bold{j}&\bold{k}\\ 1 & 0 & f'_u \\ 0 & 1 & f'_v \\ \end{matrix} \right | =-f'_u\bold{i}-f'_v\bold{j}+\bold{k} ru​×rv​= ​i10​j01​kfu′​fv′​​ ​=−fu′​i−fv′​j+k 将参数化后的参数替换为原参 x = u 、 y = v x=u、y=v x=u、y=v 曲面微元dS法向量为：( − f x ′ ， − f y ′ ， 1 -f'_x，-f'_y，1 −fx′​，−fy′​，1) dS向xoy平面投影的投影微元dxdy的法向量： k ⃗ = ( 0 ， 0 ， 1 ) \vec{k}=(0，0，1) k =(0，0，1) dS向xoz平面投影的投影微元dxdz的法向量： j ⃗ = ( 0 ， 1 ， 0 ) \vec{j}=(0，1，0) j ​=(0，1，0) dS向yoz平面投影的投影微元dydz的法向量： i ⃗ = ( 1 ， 0 ， 0 ) \vec{i}=(1，0，0) i =(1，0，0)

曲面微元dS法向量为：( − f x ′ ， − f y ′ ， 1 -f'_x，-f'_y，1 −fx′​，−fy′​，1) dS向xoy平面投影的投影微元dxdy的法向量： k ⃗ = ( 0 ， 0 ， 1 ) \vec{k}=(0，0，1) k =(0，0，1) 曲面微元dS法向量为：( − f x ′ ， − f y ′ ， 1 -f'_x，-f'_y，1 −fx′​，−fy′​，1) dS向xoz平面投影的投影微元dxdz的法向量： j ⃗ = ( 0 ， 1 ， 0 ) \vec{j}=(0，1，0) j ​=(0，1，0)

曲面微元dS法向量为：( − f x ′ ， − f y ′ ， 1 -f'_x，-f'_y，1 −fx′​，−fy′​，1) dS向yoz平面投影的投影微元dydz的法向量： i ⃗ = ( 1 ， 0 ， 0 ) \vec{i}=(1，0，0) i =(1，0，0) 单位法向量 n ⃗ 0 \vec{n}^0 n 0与三个坐标轴的夹角

第二类曲面积分与第一类曲面积分的关系 注意：dydz，dzdx，dxdy的顺序，要满足右手定则 d S ⃗ = n ⃗ 0 d S = ( cos ⁡ α ， cos ⁡ β ， cos ⁡ γ ) d S = ( d y d z ， d z d x ， d x d y ) d\vec{S}=\vec{n}^0dS=(\cos\alpha，\cos\beta，\cos\gamma)dS=(dydz，dzdx，dxdy) dS =n 0dS=(cosα，cosβ，cosγ)dS=(dydz，dzdx，dxdy) ∬ Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∬ Σ ( P cos ⁡ α + Q cos ⁡ β + R cos ⁡ γ ) d S \iint\limits_{\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iint\limits_{\Sigma}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS Σ∬​Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Σ∬​(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS