电场强度通量的高斯定理

阅读这篇前推荐优先阅读高数中的高斯公式。 该篇参考《电动力学》郭硕洪第三版第一章第二节。 通过闭合曲面 S S S的电场强度 E ⃗ \vec{E} E 的通量定义为面积分： ∮ s E ⃗ ⋅ d S ⃗ (1) \oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} \tag{1} ∮s​E ⋅dS (1) 由库仑定律可以推出 关于电场强度通量的高斯定理： ∮ s E ⃗ ⋅ d S ⃗ = Q ϵ 0 (2) \oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{\textbf{Q}}{\epsilon_0} \tag{2} ∮s​E ⋅dS =ϵ0​Q​(2) 其中 Q = ∑ i Q i \textbf{Q}=\sum_i Q_i Q=∑i​Qi​，表示闭合曲面 S S S所围成的区域内的所有电荷量。 因此进一步我们可以将等式 ( 2 ) \left(2\right) (2)写为： ∮ s E ⃗ ⋅ d S ⃗ = 1 ϵ 0 ∑ i Q i (3) \oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_i Q_i \tag{3} ∮s​E ⋅dS =ϵ0​1​i∑​Qi​(3) 不知道有没有小伙伴会和我有同样的疑问，为什么这个公式会被称为电场强度通量的高斯定理呢？接下来我们来说明一下这个问题。

因为等式 ( 2 ) \left(2\right) (2)推导时的右侧部分是通过体积分得到的，对应于数学上的高斯定理，就是将面积分与体积分联系起来的公式，因此这里我们说 ( 2 ) \left(2\right) (2)表示的时电磁场强度通量的高斯定理。

进一步，如果我们将等式 ( 3 ) \left(3\right) (3)的右侧电荷替换为积分形式，那么我们可以电场高斯定理的积分形式。 ∮ s E ⃗ ⋅ d S ⃗ = 1 ϵ 0 ∭ v ρ d V (4) \oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{1}{\epsilon_0}\iiint_v \rho \mathrm{d}V \tag{4} ∮s​E ⋅dS =ϵ0​1​∭v​ρdV(4) 如果我们使用数学上的高斯定理，那么我们可以将等式 ( 4 ) \left(4\right) (4)的左侧替换为： ∮ s E ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∭ v ∇ ⋅ E ⃗ d V (5) \oint_{s}\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}= \iiint_v \nabla \cdot \vec{E} \mathrm{d}V \tag{5} ∮s​E ⋅dS =∭v​∇⋅E dV(5) 结合等式 ( 4 ) \left(4\right) (4)与等式 ( 5 ) \left(5\right) (5)，我们可以得到电场高斯定理的微分形式： 1 ϵ 0 ∭ v ρ d V = ∭ v ∇ ⋅ E ⃗ d V (6) \frac{1}{\epsilon_0}\iiint_v \rho \mathrm{d}V= \iiint_v \nabla \cdot \vec{E} \mathrm{d}V \tag{6} ϵ0​1​∭v​ρdV=∭v​∇⋅E dV(6) ∇ ⋅ E ⃗ = ρ ϵ 0 (7) \nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} \tag{7} ∇⋅E =ϵ0​ρ​(7) 等式 ( 7 ) \left(7\right) (7)即为电场高斯定理的微分形式。

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