抛物线的基本知识点（定义+方程+易错点+公式+例题）归纳总结

抛物线是数学中一种重要的曲线形式，具有广泛的应用和理论意义。掌握抛物线的基本知识点不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于拓展我们的数学思维和推理能力。下面是小编整理的抛物线的基本知识点总结，拉至文末查看完整的领取方式可下载打印！

抛物线的定义与性质

抛物线的方程与解析式

抛物线易错知识点汇总

数学抛物线的公式及复习技巧

抛物线习题与例题解析

抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．

2．抛物线四种标准方程的几何性质：

3．抛物线的几何性质：

(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧， 当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．

(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．

(4) 焦点弦：抛物线的焦点弦，, ,则．

弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时，通径最短为2p。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点

(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。

(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,

(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：,是抛物线上两点，则

6.直线与抛物线的位置关系

　　直线，抛物线，

　　，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线： 抛物线，

1　联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

或

b. 中点,，

2　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）

相交 相切 相离 位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是

.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，

且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

中位线，.故以

PF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则

分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：

（1） （2）

【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作

，

.两式相加即得：

（2）当AB⊥x轴时，有

成立；

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：

.化简得：

∵方程（1）之二根为x1，x2，∴.

.

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：过抛物线上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）

【证明】对方程两边取导数：

.由点斜式方程：

y0y=p（x+x0）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ）

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线的通径长为2p；

3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：

以下再举一例

【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为，

那么：

设抛物线的准线交x轴于C，那么

.

这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线

y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A、B，则|AB|等于（ ）

A.3 B.4 C.3 D.4

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：. 由

设方程（1）之两根为x1，x2，则.

设AB的中点为M（x0，y0），则.代入x+y=0：y0=.故有.

从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：

，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（ ）

A． B． C． D．

【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.

△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则

且∠KFM=60°，∴.选C.

【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的

面积用公式计算.

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）

A． B． C． D．

【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半

焦距c，离心率为e，作，令

.∵点M在抛物线上，

，

这就是说：的实质是离心率e.

其次，与离心率e有什么关系？注意到：

.

这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选 A..

（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.

（Ⅱ）直线AB：

代入（1），整理得：

设方程（2）之二根为y1，y2，则.

设AB中点为

AB的垂直平分线方程是：.

令y=0，则

故

于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.

【解析】假定在抛物线上存在这样的两点

∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且

.

设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：

AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

【解析】∵

设OA上第k个分点为

第k个三角形的面积为：

.

故这些三角形的面积之和的极限

抛物线的解析式有三种形式：

    ①一般式：（a≠0）；

②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；

③交点式：（a≠0），其中x1，x2是方程的两个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法）

分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：

设二次函数的解析式为：

因为二次函数图像过点（1，0）

所以

所以

所以函数解析式为。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：

设二次函数的解析式为：，

因为二次函数图像过点（－2，3）

所以

所以函数解析式为。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4

∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

∴设二次函数的解析式为

∵二次函数过（－1，－4）

∴

∴a＝1

∴

    点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。

例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。

（1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；

       （3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线。

解：（1）如图，点M即为所求。

       （2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。

       设经过点A、B、C的抛物线的解析式为，      

依题意，解得，

所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为，    

把点D（7，0）的横坐标代入上述解析式，

得：       ，

所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。

    （3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。

       所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，

在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，    

所以，

在Rt△CED中，∠CED＝90°，

所以，

所以，    

所以∠MCD＝90°，  

因为MC为半径，      

所以直线CD是⊙M的切线。

点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。

例4、已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；

（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．

解：（1）根据题意，，

所以

解得

所以抛物线解析式为．

（2）依题意可得的三等分点分别为，．

设直线的解析式为．

当点的坐标为时，直线的解析式为；

当点的坐标为时，直线的解析式为．

（3）如图，由题意，可得．

点关于轴的对称点为，

点关于抛物线对称轴的对称点为．

连结．

根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长．    5分

所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．

可求得直线的解析式为．

可得点坐标为，点坐标为．

由勾股定理可求出．

所以点运动的最短总路径的长为．

    点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。

例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（－1，0）、B（2，0）、C（0，－2）．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

图1

解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2），

∴－2＝a×1×（－2），

∴a＝1，

∴y＝x2－x－2；

其顶点M的坐标是（）．

（2）设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N（t，  h）， 

∴解得：k＝，b＝－3，

∴线段BM所在的直线的解析式为y＝x－3

∴h＝t－3，

∵－2