瞬态场永磁同步电机交直轴电感计算

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瞬态场永磁同步电机交直轴电感计算

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2021.3.15 附上测试数据，以及画图程序，注意里面电流乘以根号2的问题，前后没同意，可以看评论区的讨论，正文已经更正，不影响画图本身逻辑。

链接：https://pan.baidu.com/s/1eEH8D9mj-nj-kaqwrO8dYQ

提取码：6coy

2021.3.10 把能规范的地方规范了一下。

2020年6月2日，如 @海水所言冻结磁导率才是最对的，昨晚找了一些文献，确实如此。然后，我也用Flux自带的官方冻结磁导率算了一下（该脚本是采用冻结磁导率计算三相自感和互感矩阵），我发现该脚本有一个问题，在计算每相自感时候在冻结磁导率后，会将永磁体剩磁改为0，也就是说在采用冻结磁导率计算三相电感矩阵时候，并没有将永磁体磁链考虑进去。所以，貌似也不是很靠谱，我后来查了一下Maxwell好像也反应有这个问题。所以，最后脚本可能还要自己编。

2020年6月2日凌晨1点，通宵找文献看下面两个公式的区别，找了一篇论文，但文献只说第一个公式是第二个近似考虑。

2020年6月1日，今晚我一直在想冻结磁导率的问题，说实话，我发现有个问题我有点想不通了，这两个公式计算电感怎么感觉都对呢，第一个瞬态场用，第二个冻结磁导率用，有啥区别呢，一晚上都在想这个。

$L_{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}},i_{\text{q}}\text{）}=\frac{\psi _{\text{d}}\left( i_{\text{d}},i_{\text{q}} \right) -\psi _{\text{d}}\left( 0,i_{\text{q}} \right)}{i_{\text{d}}} \\ L_{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}},i_{\text{q}}\text{）}=\frac{\psi _{\text{d}}\left( i_{\text{d}},i_{\text{q}} \right) -\psi _{\text{m}}\left( 0,i_{\text{q}} \right)}{i_{\text{d}}} \\$

2020年6月1日，今晚我想来想去，我觉得其实电感计算好像没什么意义，实际上只要dq轴总的磁链随dq轴电流交叉耦合后的结果计算出来，电机转矩就已经可以预测了。

我发现有不少人反馈这个没考虑dq交叉耦合，实际上是考虑进去了，大家再仔细考虑一下，另外确实，瞬态场算不出永磁体磁链随dq轴电流的变化（这就需要冻结磁导率），但是实际上在计算不管增量还是视在电感，可以规避永磁体磁链的计算。

大家好我是哈莫尼克，今天你们的电机花里胡哨了吗？

我在本专栏上一篇文章中提到了永磁同步电机在MTPA，FW，MTPV控制方法下的工作点的解析思路。为了实现电机各个工作点的全解析，很有必要对永磁体交直轴电感进行较为精确的计算。所以今天，我就来介绍一下采用有限元瞬态场计算永磁同步电机交直轴电感。

常用方法介绍：首先介绍一下在有限元仿真中，电机电感的计算方法，主要涉及三种方法

静态场法，可以考虑饱和，但无法考虑交直轴交叉耦合（cross coupling）(其实这句话也有待商榷，理论上忽略永磁体涡流，静态场完全可以代替瞬态场，所以这个交叉耦合实际上也是可以考虑的，只要把静态场也给dq电流进行分析)，永磁体工作点的变化无法考虑。冻结磁导率法，可以考虑饱和，可以考虑永磁体工作点变化，但无法考虑交叉耦合（这一点存疑，书上这么写，但我认为是可以考虑进来的），适用于表贴式永磁同步电机。瞬态场法，可以考虑饱和，可以考虑永磁体变化，可以考虑交叉耦合，适用于所有电机类型，这里有一个问题，确实永磁体磁链是算不出来的，但实际上在计算不管增量电感还是视在电感，完全可以避免掉永磁体磁链的计算，可以只计算dq轴总的磁链。

原理：以下面这台Flux自带Example中的内嵌式永磁同步电机为例，讲述一下具体求解思路。

Flux Example自带内嵌式永磁同步电机

首先，将与有限元模型耦合的电路模型中的三项电流源（UVW）切换成以dq轴模型来描述

$\left\{ \begin{array}{c} i_{\text{U}}=\sqrt{i_{\text{d}}^{2}+i_{\text{q}}^{2}}\sin \left( 2\pi ft+\arctan \frac{i_{\text{d}}}{i_{\text{q}}} \right)\\ i_{\text{V}}=\sqrt{i_{\text{d}}^{2}+i_{\text{q}}^{2}}\sin \left( 2\pi ft-\frac{2}{3}\pi +\arctan \frac{i_{\text{d}}}{i_{\text{q}}} \right)\\ i_{\text{W}}=\sqrt{i_{\text{d}}^{2}+i_{\text{q}}^{2}}\sin \left( 2\pi ft+\frac{2}{3}\pi +\arctan \frac{i_{\text{d}}}{i_{\text{q}}} \right)\\ \end{array} \right.$

然后，将d轴轴线对准U相绕组轴线，这里是整数槽绕组，刚好在如上图的初始位置就对上了。

然后，给定电流（随意取） $i_{\text{d}}=87.5\sqrt{2}\,\,\text{A}$ 和 $i_{\text{q}}=50\sqrt{2}\,\,\text{A}$ （注意，不要问为什么这里我带了根号2，原因是Flux模型里面我计算时候真的带了这个根号2，不要感觉到奇怪）运行模型一个周期，输出的UVW三相的磁链波形，如下图所示

UVW三相磁链曲线

紧接着进行3/2变换，将UVW三相磁链变换到dq坐标系，公式如下

$\left[ \begin{array}{c} \psi _{\text{d}}\\ \psi _{\text{q}}\\ \psi _0\\ \end{array} \right] =\text{C}\left[ \begin{array}{c} \psi _{\text{U}}\\ \psi _{\text{V}}\\ \psi _{\text{W}}\\ \end{array} \right] =\frac{2}{3}\left[ \begin{matrix} \cos \theta& \cos \left( \theta -\frac{2}{3}\pi \right)& \cos \left( \theta +\frac{2}{3}\pi \right)\\ -\sin \theta& -\sin \left( \theta -\frac{2}{3}\pi \right)& -\sin \left( \theta +\frac{2}{3}\pi \right)\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \psi _{\text{U}}\\ \psi _{\text{V}}\\ \psi _{\text{W}}\\ \end{array} \right] \\ \text{这里务必小心，}\theta 为\text{转子}机\text{械位置角}所\text{对应的电角度}$

这里有两个注意点，第一是电角度，第二是要对每个时间点都进行变化，由此可以得到dq轴磁链曲线，如下

dq坐标系下的磁链曲线

对上述曲线中的磁链求取平均值，可以得到 $\psi _{\text{d}}=0.0359 \text{ Wb}$ ， $\psi _{\text{q}}=0.1258 \text{ Wb}$ 。

到这我们先不急着计算电感，先验证磁链计算是否正确，上述有限元模型在给定 $i_{\text{d}}=87.5\sqrt{2}\,\,\text{A}$ 和 $i_{\text{q}}=50\sqrt{2}\,\,\text{A}$ 运行下，有如下转矩曲线

由上述转矩曲线，可以求得平均转矩为108.79Nm。那么我们用求得的dq轴磁链和dq轴电流来验证一下是否正确，验证步骤如下

$T=\frac{3}{2}p\left( \psi _{\text{d}}i_{\text{q}}-\psi _{\text{q}}i_{\text{d}} \right) =\frac{3}{2}\times 4\times \left( 0.0359\times 50\sqrt{2}+0.1258\times 87.5\sqrt{2} \right) =108.63 \text{ Nm} \\$

解析出来的结果非常接近有限元仿真出来的108.79 Nm，因此可以证明我们的计算的对的。

最后电感计算，步骤如下

$L_{\text{d}}=\frac{\psi _{\text{d}}-\psi _{\text{m}}}{i_{\text{d}}}=\frac{0.0359-0.1242}{-87.5\sqrt{2}}=0.000713572\text{ H} \\$

这里我补充一段，交叉耦合已经考虑进来了，上述公式还能这样写（我磁链用的都是特定 $i_{\text{d}},i_{\text{q}}$ 电流下的磁链 $\psi _{\text{d}}\left(i\text{d} ,i\text{q} \right)$ ）

$L_{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}},i_{\text{q}}\text{）}=\frac{\psi _{\text{d}}\left( i_{\text{d}},i_{\text{q}} \right) -\psi _{\text{m}}\left( 0,i\text{q} \right)}{i_{\text{d}}}=\frac{\psi _{\text{d}}\left( i_{\text{d}},i_{\text{q}} \right) -\psi _{\text{d}}\left( 0,i\text{q} \right)}{i_{\text{d}}} \\ L_{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}}=87.5\sqrt{2}\text{A},i_{\text{q}}=50\text{A）}=\frac{\psi _{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}}=87.5\sqrt{2}\text{A},i_{\text{q}}=50\sqrt{2}\text{A）}-\psi _{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}}=0,i_{\text{q}}=50\sqrt{2}\text{A）}}{i_{\text{d}}}=\frac{0.0359-0.1242}{-87.5\sqrt{2}}=0.000713572\text{H} \\$

这里 $\psi _{\text{m}}=0.1242\text{Wb}$ 也就是 $\psi _{\text{d}}\left( 0,i\text{q} \right)$ ，是令 $i_{\text{q}}=50\sqrt{2}\,\,\text{A}$ 时候的磁链（这里我知道很多人困惑，大家看一下文章末尾补充的公式就能理解了）。

$L_{\text{q}}=\frac{\psi _{\text{q}}}{i_{\text{q}}}=\frac{0.1258}{50\sqrt{2}}=0.00177908\text{H}$

计算完毕，最后扫描所有可能的dq轴电流，绘制相应图像如下（我把计算过程中的关键点标在图像上面了，可以验证程序编制没有问题）

参考文献:

李子健，凌在汛，王少波.Flux电机有限元分析教程，天源科技. (这本书不是公开发行的，是我刚读博时候花了大价钱从国内买的，哈哈)。众多论文，不列举了。

2020年6月1日，更新一下，有几个问题统一回答一下，首先永磁体磁链随电流变化我是考虑进来的。因为我要解析电机工作点，所以用得视在电感，我把公式写清楚

这里你会困惑为什么我用的是 $\psi _{\text{m}}\left( 0,i\text{q} \right)$ ，因为下面除以的是 $i_{\text{d}}$ ，这是视在电感。稍微变换一下，你可以求增量电感，你可以给一个很小的扰动 $\varDelta i_{\text{d}}$ ，按下面的公式求解，对于我现在的分析没必要用增量电感。

$L_{\text{d}}\text{（}i_{\text{d}}+\varDelta i_{\text{d}},i_{\text{q}}\text{）}=\frac{\psi _{\text{d}}\left( i_{\text{d}}+\varDelta i_{\text{d}},i_{\text{q}} \right) -\psi _{\text{d}}\left( i_{\text{d}},i_{\text{q}} \right)}{\varDelta i_{\text{d}}} （可以瞬态场使用）$

所以上文描述的方法，dq轴的交叉耦合以及永磁体磁链是考虑进去的，由于求解的是视在电感，因此，永磁体磁链在求解过程中应用的都是 $\psi _{\text{m}}\left( 0,i\text{q} \right)$ ，其实就是 $\psi _{\text{d}}\left( 0,i\text{q} \right)$ ，没必要用 $\psi _{\text{m}}\left( i\text{d},i\text{q} \right)$ 。在瞬态场计算增量电感时候，可以直接求解 $d\psi _{\text{d}}\left( i\text{d},i\text{q} \right)$ 从而避免了求解 $\psi _{\text{m}}\left( i\text{d},i\text{q} \right)$ 。

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