两个集合相等的例题

我们先看一些实例：

①1~20以内的所有质数(素数)；   有限集

②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；

③全体自然数；     无限集

④方程  x2+3x+2=0 的所有实数根；

⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.

分别归纳概括出它们具有什么共同特征?

一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).

通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.

注意： 几种特殊的数集

问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”，这些集合里的元素必须具备什么特性？

先思考以下两个问题：

① 高一级身高较高的同学，能否构成集合?    否

② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合?   能

③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？否

1.确定性：

集合中的元素必须是确定的。即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。(具有某种属性)

如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.

2.互异性：

集合中的元素是互异的。即集合元素是没有重复现象的。(互不相同)

如：2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.

3.无序性：

集合中的元素是不讲顺序的。即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合。(不考虑顺序)

如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合

    集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合

集合相等：

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.

高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之间各自有什么关系？

(1)自然语言表示法

1~20以内的质数组成的集合

(2)列举法

例如，地球上四大洋组成的集合：

{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

例1、用列举法表示下列集合：

(1)小于10的所有自然数组成的集合；

(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；

(3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.

解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A， 则

          A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

     (2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B， 则

          B={0,1}

     (3)设所求集合为C， 则

          C={6,12,18}

有限集，无限集

：你能用列举法表示不等式 x －7< 3 的解集吗？

无限集

(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。

具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再划一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素的共同特征.

例2 

用描述法和列举法描述下列集合

注意：

有限集通常用列举法来表示

无限集通常用描述法来表示

(4)Venn图示法 

如：“book中的字母” 构成一个集合

【课程回顾】

1.子集与真子集的区别

(1)从定义上:集合A是集合B的子集包括A是B的真子集和A与B相等两

种情况,真子集是子集的特殊形式.

(2)从性质上:空集是任何集合的子集,但不是任何集合的真子集;

空集是任何非空集合的真子集.

(3)从符号上:A⊆B指AB或A=B都有可能.A=A,A⊆A,∅⊆A都是正确的符号表示,AA,∅A是不正确的符号表示.

2.对空集的两点说明

(1)空集首先是集合,只不过空集中不含任何元素.

(2)规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.因此遇到诸如A⊆B,AB的问题时,务必优先考虑A=∅是否满足题意.

一.集合关系的判断

1.若集合M={x|x2-1=0},T={-1,0,1},则M与T的关系是　(　　)

A.MT　　   B.MT　　   C.M=T　　  D.M⊈T

2.指出下列各对集合之间的关系:

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}.

(2)A={x|-1

(3)A={x|x是等边三角形},B={x|x是等腰三角形}.

(4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}.

二.关于子集、真子集的个数问题

3.(2015·福州高一检测)集合{a,b}的子集个数为(　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

4.若集合{1,2}⊆M {1,2,3,4},试写出满足条件的所有的集合M.

5.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=(　)

A.1          B.2           C.3          D.4

6.已知集合A{x∈N|-1奇数,则集合A共有多少个?并用恰当的方法表示这些集合.

三、由集合间的包含关系求参数

7.由集合间的包含关系求参数已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|11),且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　　.

8.(变换条件)本例若将集合“B={x|11)”改为“B={x|1

1.选A.M={-1,1},T={-1,0,1},所以MT.

2.(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系.

(2)集合B={x|x1,所以1

答案:1

8.【解析】若m≤1,则B=∅,满足B⊆A.若m>1,则由例题解析可知1综上可知m≤4.

两集合间关系的判断步骤

(1)判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B,若是,则A⊆B,否则A⊈B.

(2)判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是,则B⊆A,否则B⊈A.

(3)若既有A⊆B,又有B⊆A,则A=B.

集合子集个数的规律及一个注意点

(1)规律:集合子集、真子集个数的规律是:含有n(n≥1且n∈N)个元素的集合的子集有2n个,非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个.

(2)注意点:解决此类问题时应注意两个比较特殊的集合,即∅和集合本身.

由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

(1)注意点:不能忽视集合为∅的情形.当集合中含有字母参数时,一般需要分类讨论.

(2)常用方法:对于用不等式给出的集合,已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时,常采用数形结合的思想,借助数轴解答.

【防范措施】

空集的特殊性

根据“A⊆B”条件,在求相关参数值时,不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况,同时还要进行检验,看是否满足元素的互异性.如本例错解,忽视B=∅的情况而漏解.

并集的概念：

并集的性质：

疑难解析：

交集的概念

交集的性质：

疑难解析

理解交集的概念应关注四点

(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．

(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．

(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.

(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.

[例1]　

(1)(广东高考)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝ (　　)

A．{－1,0,1}　　　　　      B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2}                         D．{0,1}

(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2x|x>－1}

C．{x|－2