概率统计：白噪声

白噪声是时间序列分析中非常重要的概念。本文将详细介绍白噪声的定义、性质以及相关的理论知识。

白噪声是一类具有特殊性质的随机过程，其时间序列表现为各个时刻上的取值是相互独立、且服从同一分布的随机变量所构成的序列。

可以用数学符号来表示：

X t ∼ W N ( 0 , σ 2 ) X_t \sim WN(0,\sigma^2) Xt​∼WN(0,σ2)

其中 W N WN WN 表示白噪声， 0 0 0 表示均值， σ 2 \sigma^2 σ2 表示方差。

白噪声的平均值为 E ( X t ) = 0 E(X_t)=0 E(Xt​)=0，也就是说，白噪声在任意时刻的期望值都为 0 0 0。

白噪声的自协方差函数为：

γ X ( h ) = { σ 2 h = 0 0 h ≠ 0 \gamma_X(h)=\begin{cases} \sigma^2 & h=0\\ 0 & h\neq 0 \end{cases} γX​(h)={σ20​h=0h=0​

这里 h h h 表示时间差， σ 2 \sigma^2 σ2 表示方差。

如果白噪声的各个时间点上的随机变量都是独立并且具有相同的正态分布，那么这个白噪声就是高斯白噪声。

若 X t X_t Xt​ 和 Y t Y_t Yt​ 均为白噪声，则对于任意实数 a , b a,b a,b，都有 a X t + b Y t aX_t+bY_t aXt​+bYt​ 是白噪声。

白噪声的谱密度函数为常数：

f ( ω ) = { σ 2 2 π ω ∈ [ − π , π ] 0 e l s e w h e r e f(\omega)=\begin{cases} \frac{\sigma^2}{2\pi} & \omega\in[-\pi,\pi]\\ 0 & elsewhere \end{cases} f(ω)={2πσ2​0​ω∈[−π,π]elsewhere​

白噪声是时间序列中的一种特殊情况，它在很多领域都有广泛应用，例如：

本文介绍了白噪声的定义、性质以及应用，并讲述了白噪声在时间序列分析和其他领域中的重要性。白噪声在很多领域都有广泛应用，是时间序列分析中不可或缺的概念。