漫步数理统计三十

本篇博文我们将正式地陈述一系列随机变量靠近某个随机变量。

定义1： {Xn} 是一系列随机变量， X 是定义在样本空间上的随机变量。我们说Xn依概率收敛到 X ，如果对于ϵ>0

或者等价的

接下里扩展下例2，根据定理1可得 X¯n 是 θ/2 的一致估计，所以 2X¯n 是 θ 的一致估计，注意 Yn,2X¯n 依概率收敛到 θ 的区别。对 Yn 而言我们用的是 Yn 的cdf，但对 2X¯n 而言，我们用的是弱大数定理。事实上 2X¯n 的cdf非常复杂。在许多情况下，统计量的cdf无法得到但是我们可以用近似理论来建立结论。其实还有许多其他 θ 的估计量，那么哪个是最好的呢？后面的文章会继续介绍。

一致性是估计量非常重要的性质，当样本数量增大时差的估计量不可能靠近目标。注意这对无偏性是不成立的。例如我们不用样本方差来估计 σ2 ，假设用 V=n−1∑ni=1(Xi−X¯)2 ，那么 V 是σ2的一致估计，但是是有偏的，因为 E(V)=(n−1)σ2/n ，所以 V 的偏置为σ2/n，当 n→∞ 时该项消失。