第十章B 闭合电路欧姆定律

欧姆定律是电学中的基本定律之一，它于1826年被德国物理学家欧姆所发现。欧姆曾是一名中学数学、物理教师，他是在傅里叶的热传导理论的启发下进行电学研究的。欧姆猜想导线中两点之间电流也许正比于这两点的某种推动力之差，欧姆称之为电张力（electrictension）。这实际上是电势差概念。为了证实自己的观念，欧姆下了很大功夫进行实验研究。当时，电流强度的测量还是未解决的技术难题，伏打电池的电压也很不稳定。欧姆自己设计了一种电流扭秤，把电流的磁效应和库仑扭秤结合在一起，测量电流强度是通过测量挂在悬丝下的磁针所偏转的角度来实现的。这一装置如图10－4所示。欧姆用温差电池代替了电压不稳定的伏打电池，把电流扭秤的悬丝和磁针置于圆筒形玻璃罩中，用放大镜观测磁针偏转的角度。欧姆取了八根粗细相同，长度不同的板状铜条，分别接入电路，测出每次的电流强度（实际上是与电流强度成正比的磁针偏转角度）。最后得出公式X＝\(\frac{a}{{b + X}}\)，其中X相当于电流大小，a相当于电源电动势，b相当于电源的内电阻，x相当于电源的外电阻。

下面我们用现代的实验设备和测量仪器来研究闭合电路欧姆定律。

图10-5所示是探究电源电动势和电源外电压、内电压关系的专用仪器，叫做可调高内阻电池。A、B极板是铅板，电解液用稀硫酸。与一般铅蓄电池的区别是它的内阻是可调的，只要提高或降低电池两极之间的挡板，电池的内阻就可改变。外电路接有滑动变阻器，可以方便地改变外电阻的大小。电池的两极A、B与电压传感器2相连，位于两个电极内侧的探针a、b与电压传感器1相连。事先对电池充足电，线路接通后，计算机屏幕上两个窗口就分别同时显示内电压U内和外电压U外的大小。开始时把变阻器断开，外电阻为无穷大，测得内电压为零，端电压U的数值就是电源的电动势E。接通变阻器后，再改变内电阻的大小或外电阻的大小，或同时改变内、外电阻的大小，在屏幕上可以得到多组内、外电压U内、U外的值。分析实验数据可以看出：当外电压U外增大时，内电压U内减小；外电压U外减小时，内电压U内增大。但在误差允许的范围内，内、外电压的和是一个恒量，这个恒量的大小，跟开始测得的电动势的大小是相等的，即E＝U外＋U内，这表明，在闭合电路里，电源电动势等于内、外电压之和。这是一个重要的结论，由此可知，当电路中有电流流过时，内电压U内不等于零，外电压U外总是小于电源的电动势E。

设电源电动势为E，外电路的电阻为R，内电路的电阻为r，通过电路的电流为I。根据上面实验探究得出的结论E＝U外＋U内，再运用初中学过的部分电路欧姆定律I＝\(\frac{U}{R}\)，很容易推得公式

I＝\(\frac{E}{{R + r}}\)。

上式表示闭合电路的电流跟电源电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比，这个结论叫做闭合电路的欧姆定律。

请根据实验结论E＝U外＋U内和部分电路欧姆定律推导出闭合电路欧姆定律。

【示例1】在图10-6所示的电路中，电源的电动势为1.5V，内阻为0.12Ω，外电路的电阻为1.38Ω，求电键闭合后，电路中的电流和路端电压。

【解答】已知电动势E＝1.5V，外电阻R＝1.38Ω，内阻r＝0.12Ω，由闭合电路欧姆定律可求出电流I：

I＝\(\frac{E}{{R + r}}\)＝\(\frac{{1.5}}{{1.38 + 0.12}}\)A＝1A

路端电压为    U＝IR＝1.38V。

【讨论】我们看到，电路中路端电压小于电源的电动势，如果外电阻远大于内电阻，我们可以忽略内阻，认为r＝0，在这种条件下路端电压可以近似等于电动势。

请你说说初中学习的部分电路欧姆定律与现在学习的闭合电路欧姆定律有什么区别？

【示例2】在图10-7所示的电路中，电阻R＝3.5Ω，电源的电动势E＝1.5V，内阻r＝0.25Ω，求电压表的示数。

【分析】图中电压表连在电源正负两极上，此电压是外电压，即端电压，应该等于电流与外电阻的乘积。

【解答】根据闭合电路的欧姆定律，得

I＝\(\frac{E}{{R + r}}\)＝\(\frac{{1.5}}{{3.5 + 0.25}}\)A＝0.4A

电压表的示数表示端电压的大小

U＝IR＝0.4×3.5V＝1.4V。

【示例3】在图10-8所示的电路中，电池的电动势E＝1.5V，内阻r＝1Ω，电阻R1＝6Ω，电流表的示数为0.3A，求电阻R2的大小。

【分析】电源的外电路是R1和R2的并联电路，所以外电阻就是R1和R2的并联电阻。先由闭合电路欧姆定律求出外电阻，再由并联电路总电阻和分电阻的关系就可求出分电阻R1。

【解答】根据I＝\(\frac{E}{{R + r}}\)，可得

R＝\(\frac{E}{r}\)－r＝（\(\frac{{1.5}}{{0.3}}\)－1）Ω＝4Ω。

再根据并联电路总电阻和分电阻的关系\(\frac{1}{R}\)＝\(\frac{1}{{{R_1}}}\)＋\(\frac{1}{{{R_2}}}\)，可得

R2＝\(\frac{{{R_1}R}}{{{R_1} - R}}\)＝\(\frac{{6 \times 4}}{{6 - 4}}\)Ω＝12Ω。

电源的电动势是由电源本身的性质所决定的，跟电路的工作状态没有关系。但实验表明闭合电路中的端电压却与电路的工作状态有关，由于电源的内阻可以看成是不变的，只要改变外电阻的大小，就会发现端电压的大小也会改变。在图10-5所示的实验中，调节滑动变阻器触点P的位置，使外电路电阻由大逐渐减小，电压传感器2对应的示数（端电压）也逐渐减小；当外电路电阻由小逐渐增大时，端电压也逐渐增大。这说明闭合电路中端电压U外随着外电阻R的增大而增大，随着外电阻R的减小而减小。为什么端电压U外与外电阻R有这样的关系呢？

由式I＝\(\frac{E}{{R + r}}\)和E＝U外＋U内＝U外＋Ir，可以看出，由于电源电动势E和内阻r均不变，当外电阻R变大时，电流I要减小，内电压U内＝Ir也减小，端电压U外就增大；当外电阻R变小时，电流I要增大，内电压U内＝Ir也增大，端电压U外必然变小。

再讨论两种特殊情形：

1．当外电路断开，即发生断路时，外电阻R变成无限大，I变为零，Ir也变为零，端电压U外等于E，这就是前面所说的，闭合电路断开时，端电压等于电源的电动势。因此，当电源没有接入电路时，可以用电压表直接测量端电压，作为电源电动势的近似值。

2．当外电路短接，即发生短路时，外电阻R接近于零，端电压U外＝IR也接近于零，电流I短＝\(\frac{E}{r}\)。可见，外电路短路时的电流取决于电源的电动势和内阻。电池的内阻一般都很小，一旦发生短路，则电路中的电流将很大，极易损坏电源，因此要防止发生短路。外电路连接在电动势很大的发电机上时，更要防止短路，因为短路电流过大，甚至会引发火灾，造成重大伤亡和损失。

以闭合电路的端电压U为纵坐标，电流I为横坐标，在图10-9中作出U-I图线。该图线应是什么形状？利用该图线可求出哪些量？

【示例4】在图10-10的电路中，当电键S断开时，电压表的示数为1.5V；当电键S闭合时，电压表的示数为1.2V，电流表的示数为1.5A。求电池的内阻r和外电阻R。

【分析】电键S断开时，外电路可看成是断路。电压表的示数就是电池的电动势。S闭合时。电压表的示数是端电压。

【解答】设E＝1.5V，U外＝1.2V，I＝1.5A。

根据E＝U外＋Ir，得内阻

r＝\(\frac{{E - {U_外}}}{I}\)＝\(\frac{{1.5 - 1.2}}{{1.5}}\)＝0.2Ω。

外电阻R＝\(\frac{{{U_外}}}{I}\)＝\(\frac{{1.2}}{{1.5}}\)Ω＝0.8Ω。

当用电压表测量电源电动势时，电源已经和电压表连接，不能认为是严格的“开路”。但由于电压表本身的电阻很高，流过的电流很小，可以认为电路中没有电流，近似作为“开路”，此时量得的端电压近似等于电动势。

【示例5】在图10-11的电路中，电源的电动势为E，内阻为r，外电路中R是定值电阻。当滑动变阻器R′的滑动片P向右移动时，三个电表的示数将怎样变化？

解答：当P向右移动时，滑动变阻器有效部分的电阻R′增大，外电路的电阻R外＝R＋R′也增大。由I＝\(\frac{E}{{{R_外} + r}}\)，I将减小，即电流表A的示数减小。再由U外＝E－Ir可知，Ir减小，端电压U外将增大，即电压表V1的示数增大。又因R两端的电压UR＝IR减小，故R′两端的电压UR′应增大，即电压表V2的示数将增大。

发布时间：2015/12/3 下午3:59:46  阅读次数：1719

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