微分几何笔记(3)

本篇就算正式进入微分几何的大门了。来讲讲Frenet标架(Frenet Frame)这个在19世纪中期就已经被提出的“古老”想法。

Definition 3.1.1记 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn为一条参数曲线。 i) n维活动标架(moving n-frame)是n个可微映射 e i : I → R n , 1 ≤ i ≤ n e_i:I\rightarrow \mathbb{R}^n, \quad 1\leq i\leq n ei​:I→Rn,1≤i≤n其中 e i e_i ei​ 满足 ∀ t ∈ I , e i ( t ) ⋅ e j ( t ) = δ i j \forall t\in I, e_i(t) \cdot e_j(t) = \delta_{ij} ∀t∈I,ei​(t)⋅ej​(t)=δij​，这里 δ i j \delta_{ij} δij​是克罗内克记号(Kronecker Delta)，且每个 e i ( t ) e_i(t) ei​(t) 都表示一个沿着 c c c的向量场。

ii) n维Frenet标架 是指一个n维活动标架，满足， ∀ k , 1 ≤ k ≤ n , c ( k ) ( t ) ∈ span { e 1 ( t ) , … , e k ( t ) } \forall k, 1\leq k\leq n, c^{(k)}(t)\in \text{span} \{ e_1(t),\dots, e_k(t)\} ∀k,1≤k≤n,c(k)(t)∈span{e1​(t),…,ek​(t)}.

活动标架的想法其实非常自然，如果能在曲线的每一点都找到一个坐标系的话，我就能在曲线的每一个局部更好的描述它，甚至进行一些微积分运算。

但显然这么优良的性质不是所有曲线都能够满足的，于是就增加一些条件，从种类繁多，奇形怪状的曲线中先找出些“好的”曲线继续探索。挺有道理的。这样我们自然而然的就有疑问，这些 { e i } \{e_i\} {ei​}，我们是从哪找出来的呢？或者说对什么样的曲线我们能够找到这样的标架呢？于是更进一步有了Frenet标架的定义。

下面的命题讲述了对于什么样的曲线一定能找到Frenet标架，以及该如何构造这个标架中的 { e i } \{e_i\} {ei​}. Proposition 3.1.2（Frenet标架的存在唯一性） c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn为一条参数曲线。如果 ∀ t ∈ I , c ′ ( t ) , … , c ( n − 1 ) ( t ) \forall t\in I, c'(t),\dots,c^{(n-1)}(t) ∀t∈I,c′(t),…,c(n−1)(t) 线性无关，那么曲线 c c c 存在唯一的Frenet标架，且满足如下的性质： i) ∀ 1 ≤ k ≤ n − 1 , c ′ ( t ) , … , c ( k ) ( t ) \forall 1\leq k\leq n-1, c'(t),\dots,c^{(k)}(t) ∀1≤k≤n−1,c′(t),…,c(k)(t) 与 e 1 ( t ) , … , e k ( t ) e_1(t),\dots, e_k(t) e1​(t),…,ek​(t) 定向相同； ii) e 1 ( t ) , … , e n ( t ) e_1(t),\dots, e_n(t) e1​(t),…,en​(t)为正定向。 这里，两组基底定向相同是指：从一组基底变换到另一组基底的系数矩阵行列式为正； 正定向是指：这组基和 R n \mathbb{R}^n Rn中我们常说的标准基底定向相同。

Proof: 这里条件的意思就是，我们可以先用Gram-Schmidt正交化，从其线性无关的各阶导数，构造出基底 { e i ( t ) } \{e_i(t)\} {ei​(t)}： 先令 e 1 ( t ) = c ′ ( t ) ∣ c ′ ( t ) ∣ e_1(t)=\frac{c'(t)}{|c'(t)|} e1​(t)=∣c′(t)∣c′(t)​，因为线性无关，各阶导数的模长不会为0. 假设 e 1 ( t ) , … , e j − 1 ( t ) , j < n e_1(t),\dots, e_{j-1}(t), jc′(t),…,c(i)(t)}=span {e1​(t),…,ei​(t)},∀1≤i≤n.

如果明白了线性无关，明白了Gram-Schmidt正交化，那么就应该可以非常直观的理解Frenet标架。

一个问题是，这个导数线性无关的条件，到底是指怎样的曲线呢？先留个疑问。接下来讲讲Frenet方程组(Frenet equations)：    

更进一步，接下来要探寻一些在等距变换和参数变换下的不变量，这会让我们感觉自己离某些本质的东西更近了一些。

Proposition 3.2.1 记 c ( t ) c(t) c(t) 的Frenet标架为 { e i ( t ) } \{e_i(t)\} {ei​(t)} ，则 ω i j ( t ) ≜ e i ′ ( t ) ⋅ e j ( t ) = − ω j i ( t ) , \omega_{ij}(t)\triangleq e'_i(t)\cdot e_j(t)=-\omega _{ji}(t), ωij​(t)≜ei′​(t)⋅ej​(t)=−ωji​(t), e i ′ ( t ) = ∑ j ω i j ( t ) e j ( t ) , e'_i(t)=\sum_j \omega_{ij}(t)e_j(t), ei′​(t)=j∑​ωij​(t)ej​(t),并且 ω i j ( t ) = 0 , 如果  j > i + 1. \omega_{ij}(t)=0, \text{如果 }j>i+1. ωij​(t)=0,如果 j>i+1.

Proof: 由正交性 e i ( t ) ⋅ e j ( t ) = 0 , ∀ 1 ≤ i ≤ n e_i(t)\cdot e_j(t)=0, \forall 1\leq i\leq n ei​(t)⋅ej​(t)=0,∀1≤i≤n, 两边求导， e i ′ ( t ) ⋅ e j ( t ) + e i ( t ) ⋅ e j ′ ( t ) = 0 e'_i(t)\cdot e_j(t)+e_i(t)\cdot e'_j(t)=0 ei′​(t)⋅ej​(t)+ei​(t)⋅ej′​(t)=0，即证明了命题的第一句话。

接下来由于Frenet标架的性质，也是在前面提到的 e i ( t ) ∈ span  { c ′ ( t ) , … , c ( i ) ( t ) } e_i(t)\in \text{span } \{c'(t), \dots ,c^{(i)}(t)\} ei​(t)∈span {c′(t),…,c(i)(t)}，所以 e i ′ ( t ) ∈ span  { c ′ ( t ) , … , c ( i + 1 ) ( t ) } = span  { e 1 ( t ) , … , e i + 1 ( t ) } e'_{i}(t)\in \text{span } \{c'(t), \dots ,c^{(i+1)}(t)\}=\text{span } \{e_1(t), \dots ,e_{i+1}(t)\} ei′​(t)∈span {c′(t),…,c(i+1)(t)}=span {e1​(t),…,ei+1​(t)} 既然 e i ′ ( t ) e'_{i}(t) ei′​(t) 只有前 n + 1 n+1 n+1 个Frenet标架分量有关，那么当然对于大于 i + 1 i+1 i+1 的 j j j 都有 w i j ( t ) = e i ′ ( t ) ⋅ e j ( t ) = 0 w_{ij}(t)= e'_i(t)\cdot e_j(t)=0 wij​(t)=ei′​(t)⋅ej​(t)=0，证毕。

所以我们看如果用 { e i ( t ) } \{e_i(t)\} {ei​(t)}将 { e ( i ) ( t ) } \{e^{(i)}(t)\} {e(i)(t)}表出的话，其系数矩阵，记作 ω \omega ω，应该是反对称的(skew-symmetric)，且除了次对角线外，起于元素均为0.

这就是Frenet运动方程组： d d t ( e 1 ( t ) e 2 ( t ) e 3 ( t ) ⋮ e n ( t ) ) = ( 0 ω 12 0 … 0 − ω 12 0 ω 23 … 0 0 − ω 23 0 ω 34 0 … 0 ⋮ ⋱ … 0 0 … 0 ω n − 1 , n 0 … 0 − ω n − 1 , n 0 ) ⋅ ( e 1 ( t ) e 2 ( t ) e 3 ( t ) ⋮ e n ( t ) ) \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} e_1(t) \\e_2(t) \\e_3(t)\\ \vdots \\e_n(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0& \omega_{12} & 0 &\quad & \quad& \dots &0 \\ -\omega_{12}& 0 & \omega_{23} & & & \dots& 0\\ 0& -\omega_{23} & 0 & \omega_{34} & 0 & \dots &0 \\ \vdots & & & & \ddots &\dots & 0\\ 0 & & \dots & & 0 & &\omega_{n-1,n} \\ 0& & \dots &0 &-\omega_{n-1,n} & &0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}e_1(t) \\e_2(t) \\e_3(t) \\\vdots \\ e_n(t) \end{pmatrix} dtd​⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​e1​(t)e2​(t)e3​(t)⋮en​(t)​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛​0−ω12​0⋮00​ω12​0−ω23​​0ω23​0……​ω34​0​0⋱0−ωn−1,n​​…………​0000ωn−1,n​0​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞​⋅⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛​e1​(t)e2​(t)e3​(t)⋮en​(t)​⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞​

Proposition 3.2.2 ∀ 1 ≤ i , j ≤ n , ω i j ∣ c ′ ( t ) ∣ \forall 1\leq i,j\leq n, \frac{\omega_{ij}}{|c'(t)|} ∀1≤i,j≤n,∣c′(t)∣ωij​​是等距变换和保定向的参数变换下的不变量。

Proof: 在参数变换下这是不变量，只需要简单的隐函数求导即可。

为了证明是等距变换下的不变量，记 B : R n → R n B: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n B:Rn→Rn 为一个等距变换，其变换矩阵为一个正交矩阵，记作 R R R. 注意每一个 e ~ i ( t ) \tilde{e}_i(t) e~i​(t)都在沿曲线 c ~ \tilde{c} c~ 的向量场中，所以可知 c ~ = B ∘ c \tilde{c}=B \circ c c~=B∘c 的Frenet标架为 e ~ i ( t ) = R e i ( t ) \tilde{e}_i(t)=R e_i(t) e~i​(t)=Rei​(t)，那么由内积的定义和正交矩阵的性质： ω ~ i j ( t ) = e ~ i ′ ( t ) ⋅ e ~ j ( t ) = R e i ′ ( t ) ⋅ R e j ( t ) = ( R e i ′ ( t ) ) ∗ R e j ( t ) = e i ′ ( t ) R ∗ R e j ( t ) = e i ′ ( t ) ⋅ e j ( t ) = ω i j \tilde{\omega}_{ij}(t)=\tilde{e}'_i(t)\cdot \tilde{e}_j(t)=Re'_i(t)\cdot Re_j(t)=(Re'_i(t))^*Re_j(t)=e'_i(t)R^*Re_j(t)=e'_i(t)\cdot e_j(t)=\omega_{ij} ω~ij​(t)=e~i′​(t)⋅e~j​(t)=Rei′​(t)⋅Rej​(t)=(Rei′​(t))∗Rej​(t)=ei′​(t)R∗Rej​(t)=ei′​(t)⋅ej​(t)=ωij​，其中 ∗ * ∗表示共轭转置，在实的情况下理解为转置就好。 又因为 ∣ c ~ ′ ( t ) ∣ = ∣ R c ′ ( t ) ∣ = ∣ c ′ ( t ) ∣ |\tilde{c}'(t)|=|Rc'(t)|=|c'(t)| ∣c~′(t)∣=∣Rc′(t)∣=∣c′(t)∣，所以 ω i j ∣ c ′ ( t ) ∣ \frac{\omega_{ij}}{|c'(t)|} ∣c′(t)∣ωij​​不变，证毕。

神奇，至此我们发现了一个看起来很有趣的不变量，我们从比较一般的曲线中，似乎发掘出一点金光闪闪的东西。那接下来当然很好奇它的性质，不能放过它，给它命名为曲率，抓着它研究，看它有什么性质。

Definition 3.2.3 记 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn是一个满足Frenet条件的参数曲线，其第 i i i 个 ( i = 1 , 2 , … , n − 1 ) (i=1,2,\dots,n-1) (i=1,2,…,n−1) 曲率(curvature) 定义为 κ i ( t ) ≜ ω i , i + 1 ∣ c ′ ( t ) ∣ . \kappa_i(t)\triangleq \frac{\omega_{i,i+1}}{|c'(t)|}. κi​(t)≜∣c′(t)∣ωi,i+1​​.

Proposition 3.2.4 在上述定义中， κ i ( t ) > 0 , i = 1 , 2 , … , n − 2. \kappa_i(t)>0, i=1,2,\dots,n-2. κi​(t)>0,i=1,2,…,n−2.

也就是说，在 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn这个满足Frenet条件的参数曲线上，定义了 n − 1 n-1 n−1 个曲率，其中前n-2个曲率是恒正的。

Proof: 也就是只要证明前 n − 2 n-2 n−2 个 ω i , i + 1 \omega_{i,i+1} ωi,i+1​是恒正的。 还是要从构造方法入手，我们可以写出： e k = ∑ l = 1 k b k l c ( l )  and  c ( k ) = ∑ l = 1 k a k l e l , 1 ≤ k ≤ n − 1. e_k=\sum^k_{l=1}b_{kl}c^{(l)} \quad \text{ and } \quad c^{(k)}=\sum^k_{l=1}a_{kl}e_l,\quad 1\leq k\leq n-1. ek​=l=1∑k​bkl​c(l) and c(k)=l=1∑k​akl​el​,1≤k≤n−1. 上式中的 b i j b_{ij} bij​ 为正交化矩阵的元素， a i j a_{ij} aij​ 是正交化矩阵的逆矩阵中的元素。这里参考了Klingenberg书上的记号，但其实他这里因果反了，不过问题不大。 因为在Gram-Schmidt正交化中，正交化矩阵的对角线是1除以模长（试试写出正交化矩阵），也就是 b k k > 0 b_{kk}>0 bkk​>0.下三角矩阵的逆还是下三角的，且有 a k k = b k k − 1 > 0 a_{kk}=b^{-1}_{kk}>0 akk​=bkk−1​>0. 所有由 ω i , i + 1 \omega_{i,i+1} ωi,i+1​ 的定义: ω i , i + 1 = e i ′ ⋅ e i + 1 = b i i c ( i + 1 ) ⋅ e i + 1 = b i i a i + 1 , i + 1 > 0 , 1 ≤ i ≤ n − 2. \omega_{i,i+1}=e'_i\cdot e_{i+1}=b_{ii}c^{(i+1)}\cdot e_{i+1}=b_{ii}a_{i+1,i+1}>0, \quad 1\leq i\leq n-2. ωi,i+1​=ei′​⋅ei+1​=bii​c(i+1)⋅ei+1​=bii​ai+1,i+1​>0,1≤i≤n−2.

其实总而言之，这个性质的来源是在构造Frenet标架时候，我们构造了前 n − 1 n-1 n−1 个标架分量，给了第 n n n 个分量足够的自由度。

接下来的两个定理，是非常重的基本定理，能被称为“定理”，显然不知道比“命题”高到哪里去了，虽然有的命题实用性远高于定理。 这两个定理都很直观，证明属于之前所说的严格论证的描述性证明，所以就直接叙述结果吧。（具体证明请参见[1] p13-p15页）

有些时候是这样的，总有人会说数学总是非要证明显而易见的东西。 其实不是的，数学主体并不是围绕着显而易见且琐碎的东西研究（并不否认有个别是这样的），大家更关心的一般是更具有启发性，更有价值的东西，说到底还是数学品味的问题吧，虽然我现在尚且谈不上什么数学品味。

Theorem 3.2.5 （存在性定理）(Existence of curves with prescribed curvature functions)   在含 x 0 ∈ R x_0\in \mathbb{R} x0​∈R 的领域内给定了 n − 1 n-1 n−1 个可微函数作为曲率 κ i ( s ) , 1 ≤ i ≤ n − 1 \kappa_i(s), \quad 1\leq i\leq n-1 κi​(s),1≤i≤n−1，其中前 n − 2 n-2 n−2 个恒大于零。 那么存在一个包含 x 0 x_0 x0​ 的区间 I I I，以及一个弧长参数化曲线 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn，它满足Frenet条件且曲率恰好为 κ i ( s ) \kappa_i(s) κi​(s)。

这个定理说明，给定了曲率，我们可以相应的找到一条曲线与之对应，这个定理的证明从Frenet运动方程组出发，由微分方程解的存在唯一性，证明了有解，如果去看书的话要留意一下，他取出的 X ( s ) X(s) X(s)的第一列向量 T ( s ) T(s) T(s)，对它做变上限积分，得到曲线 c ( s ) = ∫ x 0 s T ( τ ) d τ c(s)=\int^s_{x_0}T(\tau)d\tau c(s)=∫x0​s​T(τ)dτ，这里其实就是把 T ( s ) T(s) T(s) 当成了 e 1 ( t ) = c ′ ( t ) ∣ c ′ ( t ) ∣ e_1(t)=\frac{c'(t)}{|c'(t)|} e1​(t)=∣c′(t)∣c′(t)​.

接下来那么这条曲线是唯一的吗？上面定理只是在解Frenet运动方程组时候用到的微分方程解存在唯一的条件，但不能说明只有这一种构造方法啊。下面的定理给出了回答：

  Theorem 3.2.6 （唯一性定理）记 c : I → R n c:I\rightarrow \mathbb{R}^n c:I→Rn 和 c ~ : I → R n \tilde{c}:I\rightarrow \mathbb{R}^n c~:I→Rn 为两条满足Frenet条件的曲线，他们的各个曲率对应相等 κ i ( t ) = κ ~ i ( t ) , 1 ≤ i ≤ n − 1 \kappa_i(t)=\tilde{\kappa}_i(t), \quad 1\leq i\leq n-1 κi​(t)=κ~i​(t),1≤i≤n−1，且运动速率相同： ∣ c ′ ( t ) ∣ = ∣ c ~ ′ ( t ) ∣ |c'(t)|=|\tilde{c}'(t)| ∣c′(t)∣=∣c~′(t)∣，那么这两条曲线之间只差一个旋转等距变换，也就是，存在唯一一个等距变换 B : R n → R n x ↦ R x + b B: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n \quad x\mapsto Rx+b B:Rn→Rnx↦Rx+b，使得 c ~ = B ∘ c , \tilde{c}=B\circ c, c~=B∘c,且这里 ∣ R ∣ = 1 |R|=1 ∣R∣=1.

证明也不难，因为任意两个单位切向量间存在唯一一个旋转正交变换，满足 R e i ( t 0 ) = e ~ i ( t 0 ) , 1 ≤ i ≤ n . Re_i(t_0)=\tilde{e}_i(t_0), \quad 1\leq i\leq n. Rei​(t0​)=e~i​(t0​),1≤i≤n.再利用这个正交阵，找到唯一一个使对应点重合的等距变换 B c ( t 0 ) = c ~ ( t 0 ) Bc(t_0)=\tilde{c}(t_0) Bc(t0​)=c~(t0​)，接下来再证明这个等距变换对其他任意点都成立即可。

至此，Frenet标架及Frenet方程组就讲到这里。不得不说Frenet标架真是天才般的发明，非常期待微分几何后面会展现什么更有意思的发现。

下一篇主要是一些计算，计算二维三维空间中曲线的曲率，在非弧长参数曲线下该怎么算。  

[1]W. Klingenberg.   A course in differential geometry.   Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.