傅里叶变换

在科学应用中，信号经常遭到随机噪声破坏，掩盖其频率分量。傅里叶变换可以清除随机噪声并显现频率。例如，通过在原始信号 x 中注入高斯噪声，创建一个新信号 xnoise。

频率函数形式的信号功率是信号处理中的一种常用度量。功率是信号的傅里叶变换按频率样本数进行归一化后的平方幅值。计算并绘制以零频率为中心的含噪信号的功率谱。尽管存在噪声，您仍可以根据功率中的尖峰辨识出信号的频率。

直接使用傅里叶变换公式分别计算 y 的 n 个元素需要 n2 数量级的浮点运算。使用快速傅里叶变换算法，则只需要 n log n 数量级的运算。在处理包含成百上千万个数据点的数据时，这一计算效率会带来很大的优势。在 n 具有较小的质因数（例如 n 为 2 的幂）时，许多专门的快速傅里叶变换算法实现可进一步提高效率。

以加利福尼亚海岸的水下麦克风所收集的音频数据为例。在康奈尔大学生物声学研究项目维护的库中可以找到这些数据。载入包含太平洋蓝鲸鸣声的文件 bluewhale.au，并对其中一部分数据进行格式化。由于蓝鲸的叫声是低频声音，人类几乎听不到。数据中的时间标度压缩了 10 倍，以便提高音调并使叫声更清晰可闻。可使用命令 sound(x,fs) 来收听完整的音频文件。

指定新的信号长度，该长度是大于原始长度的最邻近的 2 的幂。然后使用 fft 和新的信号长度计算傅里叶变换。fft 会自动用零填充数据，以增加样本大小。此填充操作可以大幅提高变换计算的速度，对于具有较大质因数的样本大小更是如此。

绘制信号的功率谱。绘图指示，呻吟音包含约 17 Hz 的基本频率和一系列谐波（其中强调了第二个谐波）。

使用傅里叶变换，您还可以提取原始信号的相位频谱。例如，创建一个由频率为 15 Hz 和 40 Hz 的两个正弦波组成的信号。第一个正弦波是相位为 -π/4 的余弦波，第二个是相位为 π/2 的余弦波。以 100 Hz 的频率对信号采样 1 秒。

计算信号的傅里叶变换。将变换幅值绘制为频率函数。

计算变换的相位，删除小幅值变换值。将相位绘制为频率的函数。