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机械臂基础

2023-06-02 09:23| 来源: 网络整理| 查看: 265

位姿描述和齐次变换 1 刚体位姿描述

机械臂的各个连杆、操作对象、工具、工件和障碍物均描述为刚体（在运动中和受力作用后，形状和大小不变，而且内部各点的相对位置不变的物体）。 刚体位姿描述：齐次变换（矩阵）、矢量法、四元数 在这里插入图片描述 变换矩阵的三个功能：描述、算子、映射

1.1 位置描述

在坐标系{A}中的任意一个点可以表示为列向量(矢量)Ap 在这里插入图片描述 符号表示： 小写粗体：矢量/向量；大写粗体：矩阵/坐标系/刚体群；小写非斜体：变量/角度

将刚体B与坐标系{B}固接，{B}的原点选择刚体质心，相对参考坐标系{4，坐标系{B}的位姿： 在这里插入图片描述

1.2 刚体姿态描述 1.2.1 旋转矩阵与旋转群 1.2.1.1 旋转矩阵

在这里插入图片描述 旋转矩阵的三个特征：1、九个元素只有三个独立变量；2、行列式为1；3、旋转矩阵是正交矩阵

1.2.1.2 旋转矩阵的三个用途

（1）用于描述坐标系{B}相对于{A}的姿态 （2）用于转换向量坐标，矢量在两个坐标系之间的变换 在这里插入图片描述 （3）用于描述物体转动状态 下图所示旋转矩阵，由上图公式计算所得，如绕x轴旋转，因为x轴重合，所以xB与xA的点积为1，zB与yA夹角为90+θ，所以cos(90+θ)=-sinθ；yB与zA夹角90-θ，所以cos(90-θ)=sinθ。 在这里插入图片描述 附:三角函数公式表 在这里插入图片描述

三个旋转矩阵之间的关系：绕那个轴旋转，主对角线上相应位置元素为1，其余为cos，cos转置位置为sin，绕y时左下角为负，绕xz时右上角为负。 {B}绕{A}的x、y、z轴旋转，则旋转矩阵如何计算：

1.2.1.3 旋转群

在这里插入图片描述 为了解决机器人中的估计问题，对状态和估计的建模包括方程和不确定性，研究者们设计了流形（manifold），即为李群的光滑平面。在李概念（Lie theory，LT）基础上可以构建微积分方程，主要应用于旋转 SO(3) 和平移 SE(3)。

空间中的旋转是3自由度，那么如何把一般的旋转矩阵所表达的姿态，拆解成为3次旋转的角度，以对应到3个自由度？ ▣拆解成为3次旋转连乘所需要注意的事项： 旋转不具备互换性，多次旋转的先后顺序需要明确定义 旋转转轴也需要明确定义，究竟是对固定不动]的转轴旋转？还是对转动的坐标系当下所在引的转轴旋转？ 变换矩阵的左乘和右乘的运动解释是不同的：变换顺序“从右向左”，指明运动是相对固定坐标系而言的；变换顺序“从左 向右”，指明运动是相对运动坐标系而言的。 ▣两种拆解方式： 对方向[固定不动]的转轴旋转：RPY固定轴 对[转动的坐标系当下所在]的转轴旋转：欧拉角

1.2.2 欧拉角与RPY角

引入其它参数法表示的必要性： （1）旋转矩阵R用9个元素表示3个独立变量(不方便)； （2）R作为变换或者算子使用比较方便，作为方位描述并不方便（很冗余），需要输入较多信息。如：机器人手爪方位的描述 需输入[n o a]; （3）欧拉角与RPY角广泛应用于航海、航天、天文学。 在这里插入图片描述 RPY角旋转针对固定轴；欧拉角旋转针对运动轴

1.2.2.1 RPY角–绕固定轴xyz旋转

船行驶方向为z轴，绕z轴旋转α角，滚动(Roll); 绕y轴旋转β角，俯仰(Pitch)；铅直方向为x轴，绕x轴旋转γ角偏转(Yaw)。 在这里插入图片描述 RPY描述坐标系{B}的方法如下：{B}的初始方位与参考系{Ａ}重合。首先将{B}绕xA转γ角，再绕yA转β角，最后绕zA转α角。 在这里插入图片描述 绕固定轴x-y-z旋转”的RPY角法。按照**“从右向左”“左乘”**的原则： 在这里插入图片描述 超越方程：3个独立变量、9个约束方程（6个不独立） 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

1.2.2.2 欧拉角–绕运动轴xyz旋转

RPY描述坐标系{B}的方法如下：{B}的初始方位与参考系{Ａ}重合。首先将{B}绕zB转α角，再绕yB转β角，最后绕xB转γ角。 在这里插入图片描述 各次转动相对运动坐标系的某轴进行的，转动顺序是绕z轴，y轴和x轴，故称为z-y-x（欧拉角）。按照**“从左向右”“右乘”原则 在这里插入图片描述 可以看出，与绕固定轴x-y-z的旋转结果完全相同。这是因为绕固定轴旋转的顺序若与绕运动旋转的顺序相反，且旋转的角度也对应相等，所得到变换矩阵是相同的**。

1.2.3 旋转变换通式 1.2.3.1 等效角度-轴线表示法

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

1.3 刚体位姿综合

机器人手爪位姿描述与坐标系相同： ◆手爪坐标系——与手爪固接一起的坐标系 z轴——手指接近物体的方向，接近矢量a(approach) y轴——两手指的连线方向，方位矢量o(orientation) x轴——右手法则规定，法向矢量n=o×a(normal) ◆手爪的方位—旋转矩阵R,描述手爪的姿态： R=[n o a] ◆手爪位姿的描述 ：{T} = {n o a p} 在这里插入图片描述 上述手爪位姿的描述仍然没有解决{T} 矩阵元素 n、o、a、p均为31列向量组成整体34矩阵的问题，由此引入齐次坐标变换

2 齐次坐标和齐次坐标变换 2.1 坐标变换

在这里插入图片描述

一般变换方程——{A,B}原点和位置均不相同 在这里插入图片描述 过渡矩阵——坐标系**{C}与{A}姿态相同，Cp为{B}坐标系内点在{C}**中的位置描述。 在这里插入图片描述 计算案例： 在这里插入图片描述

2.2 齐次坐标——笛卡尔坐标

在这里插入图片描述 齐次坐标变换矩阵是4X4的方阵，其形式如下： 在这里插入图片描述 齐次变换：是为了确定机械臂的位置和姿态。利用齐次变换坐标来表示了三维坐标系内某一点的坐标。 在这里插入图片描述 规定：如下列向量(齐次坐标)表示空间的无穷点远 在这里插入图片描述 [1000]T——x轴 [0100]T——y轴无穷远点 [0010]T——z轴无穷远点 [0000]T——无意义 [0001]T——代表0点(坐标原点) 利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可用来规定矢量的方向：当第4个元素非零时，代表点的位置；第4个元素为零时，代表方向。

2.3 齐次变换矩阵

齐次变换矩阵：代表坐标平移与旋转复合，可分解为： 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 案例： 在这里插入图片描述

2.4 运动算子

平移算子：右上角的3*1的单位矩阵 在这里插入图片描述 旋转算子： 在这里插入图片描述 运动算子的一般形式：在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 齐次变换矩阵的物理含义： 在这里插入图片描述

2.4 变换矩阵的运算

相乘 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 次序可调，两次变换都是平移或者绕同一轴旋转

求逆 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 变换方程： 在这里插入图片描述 刚体变换群：（自学） 在这里插入图片描述

在这里插入图片描述在这里插入图片描述

END

思考与梳理： 向量可以表示的空间关系：位置、（方向）方位 旋转矩阵的特性：9个元素、6个隐含的条件（每两个列向量垂直）、3个独立变量，A到B的旋转矩阵为B到A旋转矩阵的转置，正交矩阵 旋转矩阵的功能：描述两个坐标系之间的姿态，转换两个坐标系内的向量坐标，描述刚体转动的状态 为什么要引入RPY角和欧拉角旋转：旋转矩阵9个矩阵表示三个变量不方便；任意姿态可能绕3个轴旋转，旋转矩阵变量多达27个； RPY角和欧拉角旋转的本质区别：RPY角旋转针对固定轴；欧拉角旋转针对运动轴

在这里插入图片描述



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