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窗函数法设计FIR中，如何选择窗函数和阶数N
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在用窗函数法设计FIR滤波器时，给出了滤波器要求的具体指标，包括通带频率fp、阻带频率fs、通带波纹Rp和阻带衰减As等，有了这些指标后，是否什么窗函数都可以选择呢？答案是否定的。那么怎么选择窗函数呢？在本小节中将说明窗函数的选择和滤波器阶数N的选择。 不同窗函数的阻带最小衰减是不相同的，例如我们要求阻带衰减为50dB，则矩形窗和汉宁窗的最小衰减分别为21dB和44dB，若用这两种窗函数，无论N有多长，都没有办法满足阻带衰减达到50dB。为了满足阻带衰减达到50dB，只有选择海明窗，因为它的阻带衰减能达到53dB。所以窗函数的选择主要是根据滤波器指标中对As的要求。在选择窗函数后又怎么决定滤波器的阶数N呢？在设定的滤波器指标中给出了通带频率fp和阻带频率fs，在通带频率fs和阻带频率fs之间是过渡带，设△f=fs-fp，，则过渡带应与对应窗函数的“精确过渡带宽”相等。设把精确过渡带宽表示为dw/N，则对于任意某一种窗函数就应有 △f=dw/N 这样可得N为 N=dw/△f
△f=min[△f1，△f2] 式中：min[·]表示选用最小值。 案例、要求设计一个低通滤波器，采样频率为100Hz,通带频率fp=3Hz，阻带频率fs=5Hz；而通带波纹Rp=3dB，阻带衰减As=50dB。由于设计要求As=50dB，分析可知选择海明窗能满足要求，所以在窗函数法中用海明窗。程序如下： clear all; clc; close all Fs=100; % 采样频率 Fs2=Fs/2; % 奈奎斯特频率 fp=3; fs=5; % 通带和阻带频率 Rp=3; As=50; % 通带波纹和阻带衰减 wp = fp*pi/Fs2; ws = fs*pi/Fs2; % 通带和阻带归一化角频率 deltaw= ws - wp; % 过渡带宽Δω的计算 N = ceil(6.6*pi/ deltaw); % 按海明窗计算所需的滤波器阶数N(按式(3-13-1)) N = N + mod(N,2); % 保证滤波器系数长N+1为奇数 wind = (hamming(N+1))'; % 海明窗计算 Wn=(3+5)/100; % 计算截止频率 b=fir1(N,Wn,wind); % 用fir1函数设计FIR第1类滤波器 [db,mag,phs,gdy,w]=freqz_m(b,1); % 计算滤波器响应 % 作图 subplot 211; plot(w*Fs/(2*pi),db,'k','linewidth',2); title('(a)低通滤波器的幅值响应'); grid; axis([0 20 -70 10]); xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值/dB') set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[0,3,5,20]) set(gca,'YTickMode','manual','YTick',[-50,0]) subplot 212; stem(1:N+1,b,'k'); xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值/dB') title('(b)低通滤波器的脉冲响应'); xlabel('样点'); ylabel('幅值') axis([0 167 -0.05 0.1]); set(gca,'XTickMode','manual','XTick',[1,84,167]) set(gcf,'color','w');运行结果如下：
说明： ①因为选择了海明窗，按式N=dw/△f求出滤波器阶数N： N = ceil(6.6 * pi/ deltaw) ②一般设计的FIR滤波器都是第1类FIR滤波器，要求脉冲序列长N是奇数。而从① 中求得的滤波器阶数N不知是偶数还是奇数。通过N = N + mod(N,2) 保证滤波器阶数N为偶数，而脉冲响应序列长将是N+1，即为奇数，满足第1类FIR滤波器要求。滤波器阶数若为N，脉冲响应序列的长度总为N+1，在FIR滤波器中脉冲响应序列的长度与滤波器阶数总差1。 ③在计算窗函数长度时用的deltaw是归一化角频率，而在fir1函数中的Wn用的是归一化频率，这两者的单位是不同的，且截止频率Wn的计算是用Wn=（fp+fs）/2。 运行程序后得上图,从图中可看出滤波器完全满足设计的要求，在5Hz处阻带衰减大于50dB。 参考文献：MATLAB数字信号处理85个实用案例精讲——入门到进阶；宋知用（编著） |
根据上表，以海明窗为例，N=6.6π/△f，注意在计算中，△f是归一化的角频率。综上所述，经过渡带可求出FIR滤波器的阶数。对于带通滤波器或带阻滤波器，通带频率有fp1及fp2，阻带频率有fs1及fs2，以带通滤波器为例，分别求出△f1=fp1-fs1及△f2=fs2-fp2，从△f1和△f2之间选择小的一个作为△f：
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