离散数学笔记（期末复习用，持续更新…）

离散数学（又称计算机数学）是现代数学的重要分支，是计算机专业课程中的核心基础课程之一。

课程主要分四块： •    第一部分   数理逻辑（第1章：命题逻辑、谓词逻辑） •    第二部分   集合论（第2章：集合；第3章：二元关系；第4章：函数） •    第三部分   代数系统 （第5章:无限集合；第6章：代数； 第7章：格和布尔代数） •    第四部分   图 论 （第8章:图论）

目录

一、数理逻辑

1.1 命题逻辑

1.1.1 命题及其表示

1.1.2 命题公式

1.1.3 等价和蕴含

1.1.4 范式、主析取范式和主合取范式

1.1.5 推理理论

1.2 谓词逻辑

1.2.1 谓词和量词

1.2.2 谓词演算的永真式

命题是陈述句，而不能是疑问句、命令句、感叹句等；命题真假用真值“真假”、“T，F”或“1，0”表示；

命题必须有真假，命题通常用大写英文字母表示，如 P、Q、R等。

命题联结词（否定，合取，析取，蕴含和等值）

否定，合取及析取容易理解；

蕴含词：稍加注意的地方是：P→Q，P 称为蕴含前件、条件、前提；Q 称为后件、结果、结论。

当且仅当 P 为真，Q 为假时，P→Q 为假；否则， P→Q 均为真。真值表如下：

可以证明：

等值词：当且仅当P、Q的真值相同，即同为真或同为假时 P↔Q 为真；否则， P↔Q 为假。

定义：由命题变元、常元、联结词、括号，以规定的格式联结起来的字符串。

注意：几元函数是由命题公式中命题变元个数决定的，例如P→ Q，两个变元就是2^2=4组真值指派；公式P→ (Q→ R) 可定义三元函数，这样真值表中就要列出2^3=8组真值指派。

《定义》：如果一个命题公式 A 的所有完全指派均为成真指派，则称公式 A 为重言式(永真式)。 《定义》：如果一个命题公式 A 的所有完全指派均为成假指派，则称公式 A 为矛盾式(永假式)。 《定义》：既不是永真式，又不是永假式，则称此命题公式是可满足式。

《定义》：如果对两个公式Ａ，Ｂ不论作何种指派，它们的真值均相同，则称Ａ，Ｂ是逻辑等价的，亦说Ａ等价于Ｂ，记A⇔B.

例题：

定理：命题公式A⇔B的充要条件是A↔B为永真式。

等价式的性质： 1）自反性: A ⇔ A. 2）对称性: A ⇔ B，则 B ⇔ A. 3）传递性: A ⇔ B， B ⇔ C，则 A ⇔ C.

下面列出17组等价公式:

这十七个等价公式要记得，在后面的等价关系证明中要用到，用真值表有点麻烦（如果变元>=3，建议用公式替换化简），下面给几个例题练习下：

*还有对偶式的原理和求解，这个理解下就可以了：（注意式中如有→，⇔将其化成由联结词Λ，∨和﹁；并且括号不能去掉）

永真蕴含式

《定义》：命题公式Ａ称为永真蕴含命题公式Ｂ，当且仅当Ａ→Ｂ是一个永真式，记作：Ａ=>Ｂ.

《定理》：给定命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若Ａ=>Ｂ，且Ｂ=>Ｃ，则Ａ=>Ｃ。

《定理》：给定命题公式Ａ、Ｂ、Ｃ，若A=>B、A=>C，则 A => BΛC

例如 证明：Ｐ=> Ｐ∨Ｑ； ＰΛＱ => P。

下面给出13组常用的永真蕴含式：

如何判定命题公式为永真式、永假式和可满足的呢？如何判定两个命题公式等价？(1)真值表法；(2)命题演算方法；(3)范式方法

范式：把命题公式化归为一种标准的形式，称此标准形式为范式。

（一）、范式：析取范式和合取范式： 设命题变元为：Ｐ、Ｑ、Ｒ，

则：析取式（Ｐ∨Ｑ∨Ｒ）称为“和”；合取式（Ｐ∧Ｑ∧Ｒ）称为“积”。

析取范式和合取范式的定义如下：

求公式的析取范式和合取范式的步骤： (1)利用等价公式，化去联结词“→”、“⇔” ，把命题公式变为与其等价的且用{﹁ ，∧，∨}表达的公式；

(2)将“﹁”深入到原子命题变元之前，并使变元之前最多只有一个“﹁”词；

(3)利用“∧”与“∨”的分配律，将公式化为析取范式（合取范式）。 (4)去掉永假项（永真项）得最简析取范式（最简合取范式）。

例题：

（二）、主析取范式和主合取范式

主析取范式：

《定义》给定一命题公式，其仅含有极小项析取的等价式称为给定命题公式的主析取范式。在真值表中，一个公式的真值为Ｔ的指派所对应的极小项的析取，即为此公式的主析取范式。

主合取范式：

《定理》在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的极大项的合取，即为此公式的主合取范式。在真值表中真值为“Ｆ”的个数等于主合取范式中极大项的个数。

求解主合取范式和主析取范式时，可以通过真值表（前提变元