北京大学：《离散数学》离散数学之二：《代数结构与组合数学》第17章 群（5/5）习题课

十七章习题课—群的证明 规范证明的主要内容 集合和二元运算构成群 群G的给定子集H构成子群 群G的给定子群是正规的 ∫是群G1到G2的同态映射 证明群G1同构于G2 证明群G1不同构于G2 比较灵活的证明 群的基本性质的证明 元素相等的证明 与数的相等或者整除相关的证明 子集相等

规范证明的主要内容： 集合和二元运算构成群 群 G 的给定子集 H 构成子群 群 G 的给定子群是正规的 f 是群 G 1 到 G2的同态映射 证明群 G 1同构于 G2 证明群 G 1不同构于 G2 比较灵活的证明 群的基本性质的证明 元素相等的证明 与数的相等或者整除相关的证明 子集相等 十七章习题课——群的证明

证明群或者子群 证明群:验证下述条件之 (1)封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆 (2)封闭性、结合律、右单位元、每个元素有右逆 (3)封闭性、结合律、方程有解 (4)封闭性、有限、无零元、消去律 证明H是G的子群:判定定理 前提:H是G的非空子集(进行验证) 验证下述条件之 (1)Vxy∈H,x∈H,x∈H (2)Vxy∈H,xy∈H (3)H有限,Vxy∈H,xy∈H

证明群: 验证下述条件之一 (1) 封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆 (2) 封闭性、结合律、右单位元、每个元素有右逆 (3) 封闭性、结合律、方程有解 (4) 封闭性、有限、无零元、消去律 证明 H 是 G 的子群：判定定理 前提：H 是 G 的非空子集 (进行验证) 验证下述条件之一 (1) ∀x,y∈H, xy∈H, x−1∈H. (2) ∀x,y∈H, xy−1∈H (3) H 有限，∀x,y∈H, xy∈H 证明群或者子群

证明正规性或者同态 证明子群N的正规性 验证下述条件之 (1)Vg∈G,n∈N,gng∈N (2)g∈G,Ng=N (3)N=,N是G的唯一的t阶子群 (4)[G:N=2 证明∫是G1到G2的同态 (1)验证fG1→G2(注意良定义性的验证) (2)验证∨xy∈Gl,f(qy)=(x)f(y)

证明子群 N 的正规性 验证下述条件之一： (1) ∀g∈G, n∈N, gng−1∈N (2) ∀g∈G, gNg−1=N (3) |N|=t, N 是 G 的唯一的 t 阶子群 (4) [G:N]=2 证明 f 是 G1到 G2的同态 (1) 验证 f:G1→G2（注意良定义性的验证） (2) 验证∀x,y∈G1, f(xy)=f(x)f(y) 证明正规性或者同态

证明同构 (1)证明f:G1-G2是同态,证明∫为双射 (2)同态基本定理:其中一个群是商群 例:H,K是G的正规子群,则HK,HnK也是G的正规子 群,且HH⌒KHKK 证明:先证明HK,HnK为正规子群(略 令 f:H>HKK,fh)=Kh, f(h h2)=Kh1h2=Kh kh2f(h1f(h2) 任取K属于HKK, hhk= Kkh=Kh' 存在h使得fh”)=Kh=Khk.∫为满同态 ke={∈H,Kh=的={hh∈H,h∈=HnK, 由同态基本定理 HHOKE HKK

(1) 证明 f:G1→G2是同态，证明 f 为双射 (2) 同态基本定理：其中一个群是商群 例：H,K 是 G 的正规子群，则 HK,H∩K 也是 G 的正规子 群, 且 H/H∩K ≅ HK/K 证明：先证明 HK, H∩K 为正规子群（略） 令 f:H→HK/K, f(h)=Kh, f(h1h2)=Kh1h2=Kh1Kh2 =f(h1)f(h2) 任取 Khk 属于 HK/K, Khk = Kk’h’ = Kh’, 存在 h’ 使得 f(h’) = Kh’ = Khk. f 为满同态. kerf={h|h∈H,Kh=K}={h|h∈H,h∈K}=H∩K, 由同态基本定理 H/H∩K ≅ HK/K . 证明同构

证明不同构 反证法 例1证明不存在的同构 证假设存在同构f:g→Q, 则f(1)=0, 0=f(1)=f(-1)(-1) 八(-1)+f(-1)=2f(-1), 从而f-1)=0 与∫的单射性矛盾

反证法 例 1 证明不存在到的同构. 证 假设存在同构 f:Q*→Q, 则 f(1)=0, 0 = f(1) = f((−1)(−1)) = f(−1)+f(−1) = 2f(−1)， 从而 f(−1) = 0 与 f 的单射性矛盾. 证明不同构