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使用 Trapezoidal Rule（梯形法则）求积分
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Trapezoidal Rule
思想原理
为了求解积分值，人们想到一种近似方法。假设要求
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上的积分，将积分区间等长分成
n
n
n 段，则每两个分段点之间的距离
h
=
b
−
a
n
h=\frac{b−a}{n}
h=nb−a，然后如下图进行近似 如上图所示， ∫ a b f ( x ) \int_{a}^{b}f(x) ∫abf(x) 的结果，就是上图中所有梯形面积总和。 梯形面积第一个梯形（最左边）的上底 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)，下底 f ( x 1 ) f(x_1) f(x1)，高为 h = b − a n h=\frac{b-a}{n} h=nb−a，因此对应的面积为 S 1 = ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) ) ∗ h / 2 = ( f ( x 0 ) + f ( x 1 ) ) ∗ h 2 S_1=(f(x_0)+f(x_1))*h/2=\frac{(f(x_0)+f(x_1))*h}{2} S1=(f(x0)+f(x1))∗h/2=2(f(x0)+f(x1))∗h。 以此类推，最后一个（最右边）的上上底 f ( x n − 1 ) f(x_{n-1}) f(xn−1)，下底 f ( x n ) f(x_n) f(xn)，高为 h = b − a n h=\frac{b-a}{n} h=nb−a，因此对应的面积为 S n = ( f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ) ∗ h / 2 = ( f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ) ∗ h 2 S_n=(f(x_{n-1})+f(x_n))*h/2=\frac{(f(x_{n-1})+f(x_n))*h}{2} Sn=(f(xn−1)+f(xn))∗h/2=2(f(xn−1)+f(xn))∗h。 因此，所有梯形的总面积为 ∫ a b f ( x ) ≈ ∑ i = 1 n ( S i ) = S 0 + . . . + S n = h 2 [ f ( x 0 ) + f ( x 1 ) + f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + ⋯ + f ( x n − 2 ) + f ( x n − 1 ) + f ( x n − 1 ) + f ( x n ) ] = ( b − a ) 2 ∗ n [ f ( x 0 ) + 2 ∑ i = 1 n f ( x i ) + f ( x n ) ] \int_{a}^{b}f(x) \approx \sum_{i=1}^{n}(S_i)=S_0+...+S_n\\ =\frac{h}{2}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_1)+f(x_2)+\cdots + f(x_{n-2})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n-1})+ f(x_{n})]\\ =\frac{(b-a)}{2*n}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n}f(x_i)+f(x_n)] ∫abf(x)≈i=1∑n(Si)=S0+...+Sn=2h[f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn−2)+f(xn−1)+f(xn−1)+f(xn)]=2∗n(b−a)[f(x0)+2i=1∑nf(xi)+f(xn)] C++ implement 输入根据上面的公式，我们可以总结出，输入包括以下几个： 1、 f ( x ) f(x) f(x)。即需要积分的函数。 2、 x 0 x_0 x0。即积分开始点。 3、 x n x_n xn。即积分结束点。 4、 n n n。即毕竟的次数。 f ( x ) f(x) f(x) 函数和前面的设计一样，使用外部函数实现。对应的函数原型如下： //输入x，计算对应的y值。 double f(double x); 主框架类似前面的计算，主要用于输入数据。 #include using namespace std; //输入x，计算对应的y值。 double f(double x); int main() { //变量定义 double lower;//起点坐标 double upper;//终点坐标 int step;//迭代次数 coutlower; coutupper; coutstep; //计算 h double h=(upper-lower)/step; //计算f(x0)+f(xn) double ans=f(lower)+f(upper); //开始迭代 double x=lower; for (int i=1; i return 1.0/(1+pow(x,2)); } 编译测试环境为 Win10+MinGW，使用 g++ 编译器。 g++ -g -o TR.exe main.cpp f.cpp 运行结果
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则该区间上的积分值就近似等同于每个小梯形的面积之和。
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