微积分（四）

2023-10-30 16:12| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录前言多元函数微分学(一)概念掌握1）讨论二重极限2）讨论二元函数连续性3）讨论二元函数偏导数4）讨论二元函数可导性5）讨论二元函数可微性（二）多元函数微分计算1）具体复合导数2）由偏导数或微分求原函数3）抽象多元函数4）多元隐函数（三）极值与最值1）求解无条件极值2）判断特定点是否为极值点3）条件极值最值问题（拉格朗日乘数法) (重点）a. 直接求条件最值b. 解析几何直接求条件最值c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)d. 条件极值证明题(最灵活、最难）

前言

本笔记不涉及基础知识，重点在于分析考研数学的出题角度和对应策略。笔记随着做题的增多，不定时更新。且为了提高效率，用表线性梳理的形式代替思维导图，望谅解。

如有缺漏错误，欢迎补充指正！

多元函数微分学

出题角度大概分为三个类型：

对多元函数微分各个概念的掌握对多元微分计算的掌握极值与最值 (一)概念掌握

与一元函数微分学相同，学习多元函数微分学将沿着函数→极限→连续→偏导数→可导性→可微性脉络进行学习。出题角度也是从这里面挑一个到多个进行考察。

既然是考查对概念的掌握，所以多为存在性题目，考察的点也多为零点，需要利用各概念的定义进行求解。

1）讨论二重极限

极限形式全部是分数形式，对，我还没有遇到其它形式。但是，有时候（比如判断可微时），可自己构造简单的二元函数，对选项进行排除。

计算二重极限的思路：

首先判断二重极限是否存在，利用不同路径判断极限不同或不存在。若判断出不存在，结束。如果第一步不能判断出不存在，继续求解。有界变量和无穷小量之积为无穷小量。夹逼原理，利用基本不等式和带有绝对值的基本不等式放缩。转化或看作一元函数极限，利用一元函数极限方法求解。 2）讨论二元函数连续性

讨论某一点（95%为零点）连续性，利用定义，即二重极限在该否存在且等于该点的函数值和求解二重极限，即可解出。

3）讨论二元函数偏导数

讨论某一点（95%为零点）对于x，y的偏导数是否存在，利用定义，求解一元函数极限，即可解出。

讨论某一点的偏导数是否连续，求出偏导，再讨论偏导数的连续性。

4）讨论二元函数可导性

可导性和偏导数联系紧密，判断可导即判断两个一阶偏导数是否存在。

另外，在多元函数中，可导不一定连续，连续不一定可导，与一元函数中“可导一定连续，连续不一定可导”有差别。

连续定义中的极限为二重极限，即x,y可以从任意方向逼近所要求的点。而可导的定义只要求了对x的偏导和对y的偏导，在其它方向没有要求，所以可导不一定连续。

对于“连续不一定可导”可参照一元函数的方法，将z = |x|视为二元函数，在（0,0）处，对x的偏导不存在，z在（0,0）处不可导。z在（0,0）处的二重极限为0，函数值为0，z在(0,0)处连续。

5）讨论二元函数可微性

可微性是概念中较难重点的一部分，讨论多元函数的可微性，有必要条件、充分条件，但是没有充要条件。讨论可微性主要靠多元函数可微的定义。必要条件：两个一阶偏导数在（x,y）处存在。充要条件：两个一阶偏导数（x,y）处连续。定义：在这里插入图片描述

（二）多元函数微分计算 1）具体复合导数偏导数就把多元函数看作一元函数求解。如果是特定点的高阶偏导，可以在适当的阶段带入非微分变量具体值，简化计算。同一函数的两个混合偏导数如果在点(x,y)都连续，那么混合偏导数相等。这是一个很常用的结论，经常在全微分证明题中使用。在全微分中，可以用第三点求解待定系数。 2）由偏导数或微分求原函数逐步求积分，结合题中所给的条件求解。唯一需要注意的一点是求积分时，如果对y求积分，积分后的常数项应为φ(x)。 3）抽象多元函数间接变量和直接变量直接给出的情况，分析变量之间的关系，画出树形图，利用树形图和链式法则求偏导。间接变量和直接变量没有直接给出的情况，分析各变量之间的关系，必要时交换直接和间接变量或改写原函数中的u,v。一般来说，如果偏导数中对ξ,η变量进行微分，ξ,η应是树形图中的叶节点。因为是抽象微分，常常与微分方程相联系。抽象利用求偏微分公式，与题目中提供的条件一起，证明某些结论(难点)。 4）多元隐函数

如果F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，多元函数类似。

隐函数求偏导主要有以下三种方式：

利用隐函数求导公式（简洁但容易漏变量之间的关系，只适用于 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式，且求解形式不涉及第4个变量，比如 d y d x \frac{dy}{dx} dxdy、 d z d x \frac{dz}{dx} dxdz)方程两段求导，解出所求偏导数（同上，适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z)和 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式,求解形式一般涉及等号左边的变量，比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu）利用微分形式不变性，方程两端微分（相对麻烦但不容易漏掉条件，适用于 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z)和 F ( x , y , z ) = 0 {F(x,y,z) = 0} F(x,y,z)=0形式.,求解形式一般涉及等号左边的变量，比如 d u d x \frac{du}{dx} dxdu）

使用哪一种方式与搞清楚各变量是否相关相比显得不是很重要。

如果一个等式中只涉及两个变量，那么必定相关。比如 f ( x , y ) = 0 {f(x,y) = 0} f(x,y)=0, f {f} f对 x x x求导为 f f f 1 ′ + f 2 ′ d x d y _{1}^{'}+f_{2}^{'}\frac{dx}{dy} 1′+f2′dydx.同理，涉及三个变量的两个等式，可以确定任意变量对其它变量的一元函数。如果变量和等式继续增多，一般性方法便是画复合函数中的树形图，帮助理解。在抽象函数中，变量之间是否相关同样取决于题目中所要求的量。比如函数x+y+z+u = 0，如果题目中给的是 u = f ( x , y , z ) {u = f(x,y,z)} u=f(x,y,z)，求 d u du du,那么x,y,z就没有相关关系，u分别与x,y,z有相关关系；如果题目中给的是 z = f ( x , y , u ) {z = f(x,y,u)} z=f(x,y,u)，求 d z dz dz，这种情况下x,y,u就没有相关关系，z分别与x,y,u有相关关系。（三）极值与最值 1）求解无条件极值

求多元函数无条件极值的步骤比较固定，且函数为二元函数且类似 z = z ( x , y ) , z = f ( x , y ) z= z(x,y),z =f(x,y) z=z(x,y),z=f(x,y)形式，可能为复合函数或隐函数。

以 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)为例

令 f x ′ = 0 , f y ′ = 0 f_{x}^{'} = 0,f_{y}^{'} = 0 fx′=0,fy′=0,求得所有驻点对每个驻点求出二阶偏导数 A = f x x ′ ′ , B = f x y ′ ′ , C = f y y ′ ′ A = f_{xx}^{''} ,B = f_{xy}^{''} ,C = f_{yy}^{''} A=fxx′′,B=fxy′′,C=fyy′′利用极值的充分条件，通过 A C − B 2 AC-B^2 AC−B2的正负和 A A A的正负判断驻点是否为极值（只适用于二元函数）如果 A C − B 2 = 0 AC-B^2=0 AC−B2=0,则利用极值的定义判断是否为极值 2）判断特定点是否为极值点

这种题型涉及极限和多元极值的定义，利用极限可构造 f ( x , y ) = 表达式 + o ( p ) f(x,y) = 表达式 + o(p) f(x,y)=表达式+o(p)形式，帮助判断。

3）条件极值最值问题（拉格朗日乘数法) (重点） a. 直接求条件最值

利用拉格朗日乘数法

b. 解析几何直接求条件最值求出所有可能极值点（驻点和一阶偏导不存在的点）的函数值求出有界闭区域边界上的最值第一步第二步的所有值进行比较，最大的值即为最大值，最小即为最小值 c. 条件极值应用题(多为解析几何问题)

确定目标函数，将题目中的条件与最值上靠，只要建立起函数与条件函数，接下来就是用拉格朗日乘数法求最值。如果解只有一个，并且问题本身允许极值存在，那么所求最值就在这个唯一可能取得极值的点上取得。

d. 条件极值证明题(最灵活、最难）

利用拉格朗日乘数法证明不等式，难点在于证明不等式有多种方法，思考的时候不会一开始就想到条件极值。另外就是目标函数和条件函数也需自己构造。

关于条件极值的应用题和证明题还比较生疏，包括上一节常微分方程的应用题，需要进行专题复习。

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