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状态空间模型与传递函数的转换关系+例题
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目录
一、传递函数
→
\rightarrow
→状态空间模型1.1 预处理1.2 从最简单的分子为1的传递函数入手1.3 分子不为1的传递函数1.4 另一种思路：利用线性叠加原理1.5 对复杂系统使用分解法1.5.1 串联法1.5.2 并联法
二、状态空间模型
→
\rightarrow
→传递函数三、对偶关系四、例题五、参考资料
传递函数是经典控制理论的工具，只能用于SISO和LTI系统；状态空间模型属于现代控制理论，对SISO和MIMO、LTI和非线性或时变系统都适用。既然考虑二者的互相转换，那么对象只可能是满足SISO和LTI的系统。
一、传递函数
→
\rightarrow
→状态空间模型
传递函数的一般形式： 用长除法进行简化： 一个例子： 根据前面找到的规律，把上面的三阶传递函数，推广到一般情况： 还是考虑分母是三阶的： 仍然把3维的推广到n维，并且考虑长除法得到的商： 还是以3阶系统为例： 如果G的阶数比较高，可以把它分解成低阶的，先得到低阶的状态空间模型，再合成高阶的模型。可以用串联法、并联法等。 1.5.1 串联法有的传递函数很容易因式分解，可以用串联法，例如： 考虑 设已知的状态空间模型为： 在2中根据状态空间模型可以求出传递函数：
[1] 浙江工业大学俞立老师课程ppt，网课见b站：现代控制理论 浙江工业大学 俞立，评论区有ppt的网盘链接 [2] 田玉平，蒋珉，李世华．自动控制原理[M]．北京：科学出版社，2006 |
从而得到新的G(s)： 
原来的G(s)是新的G(s)和d的并联，可以按并联系统处理。方便起见，下面先只考虑形似新的G(s)的传递函数。
要求它的状态空间模型，首先写成输入输出关系： 
对应的微分方程： 
定义新的变量： 
状态空间模型： 
状态矩阵A：最底行对应传递函数分母的系数，符号相反；右上角是2阶单位阵。 输入矩阵B：只有最后一维非零，对应分子常数1。 输出矩阵C：只有第一维非零，1对应分子常数1。 直接转移矩阵D：为0，因为G(s)的分子次数小于分母。 模拟图： 
画的时候左边是u，根据B中只有第三维是1，确定u通过加法流向
x
3
˙
\dot{x_3}
x3˙，积分得到
x
3
x_3
x3。然后再画
x
2
˙
,
x
2
,
x
1
˙
,
x
1
\dot{x_2},x_2,\dot{x_1},x_1
x2˙,x2,x1˙,x1。根据
x
3
˙
\dot{x_3}
x3˙的构成画反馈。根据C得到
y
=
x
1
y=x_1
y=x1。
对应的状态空间模型是 
称为是传递函数G的状态空间实现。
可以看成是： 
对于内层 
的部分，显然 
对于外层 
微分方程： 
定义状态变量： 
这里的
y
1
y_1
y1也就是分子为1时候的y。也就是说，分子不为1的时候，输出是原来y及其微分的线性组合。所以，对于分子不为1的传函，状态空间模型是 
4个矩阵中只有C发生了变化：与传递函数的分子系数相对应。 相应的图为： 
画的时候，将3个积分器的输出线性相加得到最后的输出。
对应的状态空间模型为： 
只要把G化成上面的形式，就可以直接观察系数写出模型的4个矩阵了，很方便。这个形式的模型称为“能控标准型”。
这时候，右边的u是有微分项的（而按1.2中的方法，由于内层的分子是1，避免了这个问题）。 如果先不看微分项，只考虑 
它和前面分析过的分子为1的传递函数是一样的，即有 
然后只考虑u的一阶微分项作为输入： 
对比上一个方程，可以发现这个方程是上一个方程两边再做一次微分的结果，所以输出分量r和w有这样的关系： 
同理，只考虑u的二阶微分的时候： 
又满足： 
根据叠加原理，总的输出是3个输入分量得到的3个输出分量的线性和： 
b对应y-u微分方程右边的系数。
因式分解： 
看成是三个环节的串联，很容易得到它们各自的模型： 
系数的求法用之前的方法就可以做，前两个环节由于阶数很低，熟练之后可以直接看出来。对于第三个环节，我们可以设
X
3
(
s
)
=
1
s
+
4
U
3
(
s
)
X_3(s)=\frac{1}{s+4}U_3(s)
X3(s)=s+41U3(s)而
Y
(
s
)
=
(
s
+
2
)
X
3
(
s
)
Y(s)=(s+2)X_3(s)
Y(s)=(s+2)X3(s)，即可得：
x
˙
3
=
−
4
x
3
+
u
3
y
=
x
˙
3
+
2
x
3
=
−
4
x
3
+
u
3
+
2
x
3
=
−
2
x
3
+
u
3
\begin{aligned} \dot{x}_3&=-4x_3+u_3\\ y&=\dot{x}_3+2x_3\\ &=-4x_3+u_3+2x_3\\ &=-2x_3+u_3 \end{aligned}
x˙3y=−4x3+u3=x˙3+2x3=−4x3+u3+2x3=−2x3+u3 这三个环节有什么关联呢？u2=y1,u3=y2。所以 
图： 
分解得到 
画图，分别求出两个环节的模型： 
对于并联，两个环节之间的关系是：u=u1=u2,y=y1+y2。因此 
这里的A是对角阵，所以并联得到的也称“对角型”。 系数的规律： A中的系数值是传递函数极点-1和1，B的系数对应分子1和1。 实际上，对于 
利用并联法得到的模型为： 
状态图： 
如果存在重极点，例如： 
系数用留数定理求： 
输入输出关系为： 
令 
得到系统状态方程和输出方程： 
因此，模型为： 
观察发现，如果存在重根，则A为若当型，n重根对应的若当块是n阶的，并且相应的B中的系数为0。 状态图为： 
在零初始条件下，用拉普拉斯变换得到 
所以 
可见，传递函数是由状态空间模型唯一确定的。
这两种写法的形式是一样的，对比系数可以得出另一种模型写法： 
这种写法的模型被称为原来模型的对偶系统模型。 对这个对偶模型再做一次对偶，可以得到原来的模型 
这说明对偶关系是双向的，它们互为对偶。 我们上面写过能控标准型： 
它也有它的对偶模型，即“能观标准型”： 
两种模型的状态图： 
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