y=e^x 有什么特殊性吗？它与三角函数等函数有什么关系？

e 是数学里面重要的无理数， e\approx 2.718 对于认识 e 毫无帮助，那么多无理数，为什么偏偏要给 e 一个专用的符号？是因为 e 在数学中有着各种特性， \frac{d}{dx}e^ x=e^ x 可以揭示出 e本身的一些特性。

根据指数函数的特性

同底指数乘法有一个特性： a^ b a^ d = a^{b+d} 。那么对于 f(x)=a^ x 而言，设 c 为常数，cf(x) = c a^ x = a^{log_ a c} a^ x = a^{x + log_ a c} = f(x + log_ a c) ，即 cf(x) = f(x + log_ a c) ：

了解了指数函数这个特性之后，我们观察下指数函数的导数（切线斜率）：

根据上图可以得出， f'(x_0 + log_ a c)=cf'(x_0) ，令 x_0=0\implies f'(log_ a c)=cf'(0) ，进一步简化形式 log_ a c = b \implies f'(b)=a^ bf'(0)

指数函数这个特性，就是在说明一个事实，指数函数的斜率（导数）由原函数和 f'(0) 决定！

可是说了这么久，还是没有出现 e 啊，是不是我们应该进一步根据 f'(x)=a^ xf'(0) 去证明让 f'(0)=1 的 a 就是 e ？

其实我们完全不需要这么去做，我们关心的只是 e 有哪些特性，我们可以反过来定义

所以 \frac{d}{dx}e^ x=e^ x 源于指数函数的特性，并且 e 是个非常特殊的值，使得 f'(0)=1 。

根据e的定义

假设 \frac{d}{dx}a^ x=a^ x 这个方程成立，我们求解一下，a会等于多少？

由导数定义可得， \displaystyle \frac{d}{dx}a^ x=\lim _{h \to 0}\frac{a^{x+h}-a^ x}{h}=\lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}

所以方程就可以表示为， \displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ x(a^ h-1)}{h}=a^ x ，因为 a^ x>0 ，所以两边约分之后可以得到 \displaystyle \lim _{h \to 0}\frac{a^ h-1}{h}=1 ，简单的移项处理下， \displaystyle a=\lim _{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} ，我们令 n=\frac{1}{h} ，可以得到\displaystyle a=\lim _{n \to \infty }(1+\frac{1}{n})^ n 。

在求解 \frac{d}{dx}a^ x=a^ x 的过程中，我们“自然而然”的遇到自然对数的底 e 。所以，\frac{d}{dx}e^ x=e^ x 因为 e 的定义。

根据线性变换的特征向量

我们可以扩展下线性变换的定义，满足下列两个条件就可以称为线性变换：

\frac{d}{dx} 微分运算很显然符合线性变换的条件，所以微分就是线性变换，线性空间的维度扩大到了无穷维。

根据 Av=\lambda v ，对于微分而言，有 \frac{d}{dx}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x} ，即微分的特征向量（这个时候更多称为特征函数）是 e^{\lambda x} 。

特征向量是线性变换中的不变量（只有伸缩变换），比如下面的蒙娜丽莎，斜向拉伸之后，你还是认得出来，就是因为图片中有不变的特征向量。

斜向拉伸图片。蓝色箭头代表不变的特征向量。来自维基百科:

对于微分这个线性变换而言， e^ x 就是其不变的特征向量，有个笑话：常函数和指数函数e^ x 走在街上,远远看到微分算子,常函数吓得慌忙躲藏,说：“被它微分一下,我就什么都没有啦!”指数函数不慌不忙道：“它可不能把我怎么样,我是 e^ x !”

假如有一天，《三体》里面的外星人，觉得“二向箔”不过瘾，发明了一个"微分箔"来攻击地球，你唯一的选择就是赶快把自己变成 e^ x 。