向量点积的实际意义

向量的点积运算法则大家都知道教科书上写的是各个分量各自相乘，然后全部相加。

（1，2）• (3，4) = 1 * 3 + 2 * 4 = 11

亦或是 其中一个向量 投影到 另一个向量的身上的长度 乘 另一个向量的长度的值。

如果两个向量的长度恰好为1，那么这个值就是这两个向量的夹角的 COS 值了。

我们经常用来算两个向量的夹角。

这个值的正负号，也可以表示两个向量夹角范围。

0 表示垂直

大于0 表示 夹角小于90度

小于0 表示 夹角 大于90度 

 以上是书上的内容 啰嗦了一大堆。

但是 点积运算意义在现实生活中到底是什么意思呢？

比如 加法运算  1+1=2 可以表示我 一开始 有一个苹果🍎，然后我又获得的一个新的苹果🍎，那么加上之前的苹果，一共就有2个苹果了。

将以上的想法带入向量，假设一个二维向量

（1，2） 表示 我有 1 个苹果，2 个 梨。

（3，4）表示 苹果 3元一个，梨 4 元一个。

那么这两个向量点积的意义 就是在算我手上的水果一共值多少钱。

换个角度 ，如果 （3，4）表示重量，一个苹果3斤，一个梨4斤。 当然现实中不会这么重 只是假设。 那么这个点积的运算就是在求，我手上的水果一共有多重。

所以我们从上面的例子可以看出，我们最终的结果，通过点积的运算 塌缩成了一个点。这个个点代表着某一方面的值，是钱？是重量？是体积？是什么都可以。

那么当我们从某一个单一的方面去表示归纳这个向量的意义时候，这个就是点积的核心意义，降维，降低维度，从一个二维表达，降低成一维表达，并且按照一定的规则来保留它在这个一维度中表示的意思，例如 表示多少钱 多少斤 多少立方？ 都可以，总之就变成一维了。

从几何上来看，点积总是一维的，总是表达着某一个方面它所有的价值或者意义。

为什么几何上会降维？

（1，2）•（3，4） 我们换种思路，如果这个运算就是一种矩阵变换呢？

既然是矩阵运算了，就换个位置从右到左算 点积结果不变哈 （3，4）•（1，2）

我们把（3，4）看成一个残缺的二维矩阵就好了，只不过它第二列都为0，所以没有写出来而已。自我催眠一下。

[3,4]

[0,0]   补全第二列就是这个样子。所以点积的运算，现在变成了 向量（1，2） 跟这个残缺的二阶矩阵进行变换运算。

有趣的是你从这个矩阵就能看出，第二列值都为0，代表着 矩阵变换后，Y 值 均为0，即 Y轴 不复存在了。

所以这个运算法则无时无刻都在提醒你这个向量的维度正在按照一定的规则进行塌缩。

无论多么高阶的维度，只要进行点积运算，都是将所有分量映射进X轴上的长度全部相加。

那么点积存在的意义就是告诉我们可以从某一个方面单独观察一组事物所代表的价值。