点乘与叉乘是否满足结合律

今天遇到了一个问题，一个式子包含一个叉乘的同时还包含了一个点乘。这个式子如下： ∇ t × z ^ ⋅ z ^ \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z} ∇t​×z^⋅z^ 其中， ∇ t = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y ) = ∂ ∂ x x ^ + ∂ ∂ y y ^ \nabla_t = \left ( \frac{\partial }{\partial x}, \frac{\partial }{\partial y} \right )=\frac{\partial }{\partial x}\hat{x} + \frac{\partial }{\partial y} \hat{y} ∇t​=(∂x∂​,∂y∂​)=∂x∂​x^+∂y∂​y^​：del算符的横向分量。

那么这个式子的结果究竟是什么呢？

首先我们按照从左到右的顺序来计算这个式子， ∇ t × z ^ ⋅ z ^ = ( ∂ ∂ x x ^ × z ^ + ∂ ∂ y y ^ × z ^ ) ⋅ z ^ = ( − ∂ ∂ x y ^ + ∂ ∂ y x ^ ) ⋅ z ^ = 0 \begin{align} \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}&= \left ( \frac{\partial }{\partial x } \hat{x} \times \hat{z}+ \frac{\partial }{\partial y}\hat{y} \times \hat{z} \right ) \cdot \hat{z} \nonumber \\ &= \left ( -\frac{\partial }{\partial x } \hat{y}+ \frac{\partial }{\partial y}\hat{x} \right ) \cdot \hat{z} \nonumber \\ &= 0 \nonumber \end{align} ∇t​×z^⋅z^​=(∂x∂​x^×z^+∂y∂​y^​×z^)⋅z^=(−∂x∂​y^​+∂y∂​x^)⋅z^=0​

∇ t × z ^ ⋅ z ^ = ∇ t × ( z ^ × z ^ ) = ∇ t × 1 = 0 \begin{aligned} \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}&=\nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z} \right ) \\ &= \nabla_t \times 1 \\ &= 0 \end{aligned} ∇t​×z^⋅z^​=∇t​×(z^×z^)=∇t​×1=0​ 上述两种方法可见结果一致，有些小伙伴们就会立刻得到一个结论，对于一个既包含叉乘又包含点乘，且叉乘在前，点乘在后的式子，我们可以先计算点乘，再计算叉乘，最终的结果不会变化。事实真的是这样吗？

根据矢量标识，我们对 ∇ t × ( z ^ × z ^ ) \nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z}\right) ∇t​×(z^×z^)进行展开得到： ∇ t × ( z ^ × z ^ ) = ∇ t × z ^ ⋅ z ^ + ∇ t × z ^ ⋅ z ^ \begin{aligned} \nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z}\right)&= \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z} + \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z} \end{aligned} ∇t​×(z^×z^)​=∇t​×z^⋅z^+∇t​×z^⋅z^​ 只是恰好，此时 ∇ t × z ^ ⋅ z ^ = 0 \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z}=0 ∇t​×z^⋅z^=0，因此我们侥幸得到了 ∇ t × ( z ^ × z ^ ) = ∇ t × z ^ ⋅ z ^ \nabla_t \times \left ( \hat{z} \times \hat{z}\right)= \nabla_t \times \hat{z} \cdot \hat{z} ∇t​×(z^×z^)=∇t​×z^⋅z^。因此，遇到叉乘和点乘同时存在的式子，我们不能够随意地变动它们的计算顺序，要根据情况而定。

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