混沌蝴蝶

这一图案颇似蝴蝶展翅，所谓混沌理论的“蝴蝶效应”之得名据说也与此吸引子的形状有关。该系统中x、y、z这3个方向数值随时间的演化如下图，其中黑线为x轴变化情况，红线为y轴变化情况，蓝线是z轴变化情况（积分步长）。

固定另2个参数，的不同取值则决定了系统的不同性质。下面四图分别为该参数取值1、10、14与99.6时的演化轨迹：

Paul Bourke作出过洛伦兹吸引子的3D图象，并发表在2000年8月31日的Nature杂志上：

另外此君还提供了一段洛伦兹吸引子的音乐，乐谱片段如下，制作原理不详，只知道3个轴的坐标分别用3种乐器表示。这段midi听起来感觉比较怪异，有兴趣的可以下载听一听。

洛伦兹吸引子的行为可以用一个“水轮”模拟，该装置的主体是可旋转的竖直轮盘，轮盘周围装有一圈可以漏水的杯子，从轮子上方注水至杯中，调节注水速度，达到某一速度时，轮盘的转动出现混沌。这一模型是Willem Malkus和Lou Howard于1970年前后提出的，在2005底召开的荷兰物理教师年会上，Planeten Paultje展示了实物。

Planeten Paultje的水轮装置

再说所谓混沌。如庞加莱在《科学与方法》一书中所说，“初始条件的微小差异有可能在最终的现象中导致巨大的差异”，“预言变得不可能”。更准确的定义干脆照抄《天体力学基础》的教材好了：“若初始值有一点小偏差，则因这一点偏差引起的轨道未来预报的不准确将会指数增长。”混沌的判据是最大Lyapunov指数，该指数大于0则系统混沌，至于具体计算再扯下去必然公式连篇，故不详谈。

其实混沌理论也不一定要求系统形式上的复杂性，比如描述洛伦兹吸引子的方程组就很简单。关键是，在简单的表象后面莫测的复杂。如今在混沌的研究中，计算机起了很大的作用。至于实际应用，混沌起作用的地方还是很多的，如天气系统、N体运动中的轨道，乃至经济问题……返回搜狐，查看更多