不确定性原理

制备不确定性原理指出，不可能制备出量子态具有任意明确位置与任意明确动量的量子系统，换句话说，所有制备出的量子系统，其量子态的位置与动量必须遵守不等式[17]:281-283

其中， σ x {\displaystyle \sigma _{x}} 与 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 分别为位置与动量的标准差， ℏ {\displaystyle \hbar } 是约化普朗克常数。

从制备量子系统的角度来看，设想一个量子系统被克隆成很多份，每一份系统都是用同样方法制备而成，那么，它们都具有同样的量子态，总称它们为一个系综，因此，量子态代表一个系综的同样方法制备出来的量子系统。现在对每一份系统测量任意可观察量A，一般而言，这些测量会得到不同的结果，它们形成了一种概率分布。从量子态计算出来的可观察量A的理论概率分布，在克隆数量趋于无穷大的极限，会与测量实验所获得可观察量A概率分布完全一致。[1]:第4节

量子系统的物理行为可以用波函数来描述，波函数的绝对值平方是量子系统的概率分布。概率分布的宽度或扩展可以用标准差或某种测度来量度。波函数也可以用来计算出位置或动量的概率分布，从而获得以位置与动量的标准差来表达的不确定性关系式。这关系式表达出符合量子力学对于制备量子系统所设定的限制，是制备不确定性原理的表达式。[1]:第6节由同样方法制备而成的多个量子系统，它们会具有的某些类似的性质，但也会具有某些不同的性质，它们所具有的性质不可能每一种都相同。"[28]:361

在波动力学里，波函数描述粒子的量子行为。在任意位置，波函数的绝对值平方是粒子处于那位置的概率；概率越高，则粒子越常处于那位置。动量则与波函数的波数有关。[29]:第16节

根据德布罗意假说，物质具有波动性质，会展示出像物质波一般的物理性质，因此，粒子的位置可以用波函数 Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,t)} 来描述。假设这波函数的空间部分 ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是单色平面波，以方程表示

其中， k 0 {\displaystyle k_{0}} 是波数， p 0 {\displaystyle p_{0}} 是动量。

玻恩定则表明，波函数可以用来计算概率，在位置 a {\displaystyle a} 与 b {\displaystyle b} 之间找到粒子的概率 P {\displaystyle P} 为

对于单色平面波案例， | ψ ( x ) | 2 {\displaystyle |\psi (x)|^{2}} 是均匀分布，这粒子的位置极端不确定，因为，它在 a {\displaystyle a} 与 b {\displaystyle b} 之间任意位置的概率都一样。

如右图所示，思考一个由很多正弦波叠加形成的波函数：

其中， A n {\displaystyle A_{n}} 是 p n {\displaystyle p_{n}} 模的振幅。

取连续性极限，波函数是所有可能模的积分：

其中， ϕ ( p ) {\displaystyle \phi (p)} 是模的振幅，称为动量空间的波函数。

以数学术语表达， ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 的傅里叶变换是 ϕ ( p ) {\displaystyle \phi (p)} ，位置 x {\displaystyle x} 与动量 p {\displaystyle p} 是共轭物理量。将这些平面波叠加在一起的副作用是动量的不确定性变大， ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)} 是很多不同动量的平面波组成的混合波。标准差 σ {\displaystyle \sigma } 定量地描述位置与动量的不确定性。粒子位置的概率密度函数 | ψ ( x ) | 2 {\displaystyle |\psi (x)|^{2}} 可以用来计算标准差。使用更多平面波，可以减低位置的不确定性，即减低 σ x {\displaystyle \sigma _{x}} ，但也因此增加动量的不确定性，即增加 σ p {\displaystyle \sigma _{p}} 。这就是不确定性原理。

根据肯纳德不等式[4]：