（7）曲率和挠率

       文章（4）中提到过，联络的反称部分是一个张量——挠率张量，下面我们将利用联络再构造另一个张量——曲率张量，这两个张量是决定空间几何性质最重要的量。

1、曲率张量的引入

首先，我们来证明协变矢量的协变微商是一个二阶张量。利用文章（5）中协变矢量的协变微商，给出它在新坐标下的协变微商：

作以下代换：

则协变微商式变为：

由于指标求和的任意性，上式右边第一项和最后一项各自的分量总和会抵消掉，剩下的部分为：

显然，协变矢量的协变微商确实是一个二阶张量，既然如此，我们就可以对协变矢量的协变微商再求一次协变微商，等价于对一个二阶张量求一次协变微商，按照文章（5）中的二阶张量协变微商式，可以给出：

交换μ和v的位置，同样给出：

将上两式作差，第一项普通微商项交换指标位置后结果不变，故被相减消除，由剩下的部分得到：

其中：

此即曲率张量，而文章（4）提到的挠率张量就是：

由（1）式可以看出，只有当空间的曲率和挠率都为0时，协变微商的指标次序才可以交换，这个结论对逆变矢量和各阶张量都成立，这里不再赘述。

2、挠率的几何意义

       从O点出发有两个无穷小位移dx(OQ')和δx(OQ)，把dx平移δx得到QP，把δx平移dx得到Q'P'，根据文章（4）给出的逆变矢量的平移式，给出：

P和P'的差为：

可见，只有当挠率为0时，P和P'才能重合，从而给出和欧几里得空间一样的结果，当空间有挠率时，必须附加一个移动Δ才能令回路闭合，这个Δ正是空间挠率产生的几何效应。

3、曲率的几何意义

       对于无挠空间，前面讨论的操作就可以形成一个闭合的平行四边形回路，现在令一个矢量A按照O、Q、P、Q'、O的顺序绕该闭合回路移动一周，得到新矢量A'，如图：

移动前后，矢量的变化为：

先按照平移式给出：

进一步平移得到：

略去δx的二阶小量，得到：

作一个代换：

将其代入（3）式，再略去δx的二阶小量，并且注意指标求和的任意性，得到：

同理可得：

其中用到了代换：

把（4）和（5）代入（2）式，得到：

由于考虑的是无挠空间，联络只有对称部分，所以上式右边第二项为0，剩下的部分为：

注意指标任意性，上式结果第二项互换指标γ和v的位置，得到：

显然，只有当曲率为0时，逆变矢量绕无穷小闭合回路平移一周才会与原矢量重合，如果曲率不为0，必须附加一个转动才能重合，这正是空间曲率产生的几何效应。协变矢量也有类似结果，这里不作赘述。

4、空间的平直性

       由前面的讨论，只有挠率和曲率都为0，空间中矢量的平移才能符合欧几里得空间中的法则，此时一定可以找到一个坐标系能使联络的所有分量都为0，平移公式退化为：

文章（6）中测地线方程退化为：

按照张量的变换规律，如果在一个坐标系中张量的所有分量都是0，那么在任何坐标下它都是0，说明曲率和挠率都是空间的内禀性质，不依赖于坐标的选择。

       应当注意，联络是依赖于坐标系的，即便是平直空间，虽然曲率和挠率都是0，但联络却不一定是0，平直空间只说明一定可以找到一个坐标系使联络所有分量为0，但不是所有坐标系下联络都是0。这一点以后还会谈到。

5、曲率张量的两个性质

（1）后一对指标反称：

（2）只有两种独立的缩并方式：