利用泰勒展开解决高考数学高难函数比大小问题

大家好啊，高考数学函数比大小来说我感觉大致可以分成两类题型：一类是找特殊点两者比大小（比如0，1,1/2），一类是从结构入手，构造函数。哎这么一想感觉还挺简单的吧？我起初也是这么想的，直到看见了这道题......

答案是这么写的：

可以看到，在答案给出的思路中，你不仅需要看出三个式子中的共性来构造函数，还要利用求导判断单调性，甚至在比较a和c中还要用到二阶导，直接将这道函数比大小的难度升到极致。可是，如果用大学思维来解这道题，只需几步就可以将其完美解掉，这就是泰勒展开，以下是泰勒公式的推导：

（注：本人只是一个高二生，对大学知识了解很少，如果后面说的内容有错误还请多多宽容，我及时把它改正，谢谢啦）

首先我们根据微积分可知：

这样，我们就用一次表达式，或者说用幂函数，通过求导来近似了此函数，但这显然是不够精确的，它只是拟合了一小段函数，我们需要用更高阶的多项式去拟合此函数，如下图。

此时我们就要进行对它的每一项进行求导，是几项式就用几阶导。但是我们发现当进行二阶导，然后将x=x0的时候，会多出一个系数2，后面都会多出一个系数 ，这时我们发现如果用n阶导的同时除以n的阶乘（）正好可以抵消系数的影响，于是我们就得到了泰勒中值定理一，即如果函数在处具有n阶导数，那么存在的一个值域，对于该领域的任一x，有：

其中

到这里，咱们应该也有一点感觉了，其实泰勒公式本质就是在反复求导，将某一点的导数值转化为函数值，从而精确拟合函数，我们取的多项式越多，我们的函数就越精确，这里我也用了一个图来模拟了一下：

如果式子中X0取0，我们可以得到麦克劳林公式：

其实即使前面什么也没看懂，对于高中生（比如我）来说，真正有用的就是麦克劳林公式。为什么呢？比如我们将代入上面的公式，可以得到：（这里仅取了三项，一般取三项已经足够，不够可以通过公式再取），这时我们代入一个值比如x=0.3（虽然麦克劳林公式是在x=0时成立的，但0.3也很接近0，所以可以用来进行估算）我们可以用此式子算到是1.34950000，而用计算机算出来的数据是1.34985881，小数点后三位一模一样，而我们只取了其中的三项，如果我们继续去取更多项，我们就能得到更精确的数据，也就是你取的项数越多，算出来数据越精确，这个公式可真厉害！它竟然能让我们不用计算机就能极其精确的去算出函数值。不过这里也有有一些限制，当我们的x越接近于零，我们算的数就越精确，但当x越大，我们的数据往往不太精确，所以建议要用此式子估数时，x最好小于等于0.1。

这里给出一些常见的泰勒展开公式方便大家使用（x=0时）：

好了，那知道了这些，让我们再看看前面的那道题：

下图为2021全国乙卷最后一道选择题，用麦克劳林公式比答案的方法简单了不少，可以试试（挺难算的）

当然啦，绝大多数的比大小问题还是很简单的，基本在高考也用不上，只是少有的出现了几次偏难一点的用大学知识更好做而已，所以还是要记牢常见的函数比大小解题方法，即使要用这个也是万不得已或者题目过于复杂，且x要接近0（小于等于0.1）的时候再用。