使用单视点模型进行水下标定的分析

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使用单视点模型进行水下标定的分析

2024-05-28 17:07| 来源: 网络整理| 查看: 265

1.前言

2.折射的影响

2.1非单视点模型

2.2焦散

2.3非平移畸变与等效焦距

3.水下SVP标定算法

参考文献

1.前言

由于镜头在水下接收到的像经过玻璃面的折射发生了变化，原本空气中的相机成像模型不再适用，若直接在水下使用张正友标定法标定相机，结果会出现很大偏差。本文建立水下成像的折射模型，以此来探讨水下折射对张正友标定法的影响。本文使用的摄像机模型请见前文

2.折射的影响 2.1非单视点模型

在空气中，物体所发出的光线沿直线传播，光线会在进入相机后交于相机的焦点。这种模型称为单视点(SVP)模型。然而在水下拍照时，由于光线在进入相机前后会经过不同介质，因此会在相机的隔水外壳处发生折射。暂不考虑折射外壳厚度，水中物体所发出的光线会在经过隔水平面时发生折射后聚焦于摄像机的焦点。从下图我们可以看到入射光线在未发生折射之前其延长线与光轴相交于不同点，对于这种入射光线进入相机后不再交于相同点的成像模型我们称为非单视点模型。

在非单视点模型中，不同位置的物点在光轴上相交于不同的位置，产生不同的“焦点”，这些焦点可以视为未产生折射的“等效焦点”。

2.2焦散

由于一般情况下系统不能使用SVP模型来描述，我们的目标是通过像素的射线映射来描述它。射线是一条参数线，其世界坐标为(R,Z)。这条射线被投射到一个特定的像素上。因此，每个像素对应于(R,Z)中的一行。参数α决定了沿射线的位置。

其中， $p(r_i)=\left ( p_R,p_Z \right )^T$ 为折射面的坐标， $q(r_i)=\left ( q_R,q_Z \right )^T$ 为射线方向的单位向量。

来自于介质中(rw,zw)处物体的光线与折射平面相交于点rg。光线继续通过空气到达透镜，射线的图像坐标是ri。

如上图所示，有如下关系：

结合Snell定律则有：

结合相似三角形，图像ri处对应的水中的射线（透视模型下的射线）可以表示为：

从 $\left ( r_w,z_w \right )$ 到 $\left ( R,Z \right )$ 的坐标微分变化量可以用雅可比矩阵表示：

J中的奇点表示一个所有主射线轨迹都相切的表面，即焦散面。焦散是一组光线轨迹的奇点位置，表示光线的几何特征。例如，在透视系统中，焦散是一个单点。焦散表面的形成如下图所示。主光线的物理路径(左)在折射后相交于透视相机的入口瞳孔的中心。然而，成像的原始(入射)射线并没有相交于某一点(右)。相反，它们会形成聚束，也就是焦散曲面。

焦散曲面的形成。（左）成像系统中的实际光线在透视相机投影中心的空气罩内相交。（右）表面入射投影不相交，而是形成一个聚束，即焦散面。

为了找到焦散面，我们需要找到 $\left | J \right |=0$ 的点，解得

则可以求得图像ri处对应的焦散坐标（等效焦点坐标）：

注意，焦散坐标并非单一点。焦散坐标与光心到折射面的距离d呈线性关系，d越小，系统与SVP模型越接近，焦散程度越小。d≠0时，系统不是SVP。

平坦水面系统的焦散面。焦散具有径向对称性，由于传感器为矩形，这种对称性在FOV的边界处不成立。焦散的范围与d有关，通常可以达到厘米或分米。 2.3非平移畸变与等效焦距

尽管折射模型不具有SVP，但仍可以将其视为SVP

首先对上图的符号含义进行说明。引入畸变后的图像的径向坐标为 $r_{i}^{distort}$ ；透视模型下，物体的有效焦距为 $f_{effective}$ ，投影到 $r_{i}^{perspective}$ ，引入径向畸变产生的距离为 $\chi$ ，结果记为 $r_{i}^{SVP}$ ， $r_{i}^{SVP}$ 与 $r_i$ 之间的误差为近似误差 $\varepsilon$ .

在径向畸变模型中，观察到的点 $\left ( x_{i}^{distort}, y_{i}^{distort}\right )$ 和理想点 $\left ( x_i,y_i \right )$ 的关系如下:

其中， ${r_{i}}^{2}={\bar{x}_{i}}^{2}+{\bar{y}_{i}}^{2}$ ,且 $\bar{x}_i=\left ( x_i-c_x \right )/f,\bar{y}_i=\left ( y_i-c_y \right )/f$

径向坐标：

通过2.2节散焦的介绍，我们可以根据相似三角形求得图像径向坐标 $r_i$ 处对应光路的等效焦距：

可见，不同的视点对应的等效焦距是不同的，我们试图找到一个等效焦距 $\bar{f}_{effective}$ ，将系统视为SVP,焦点位置为 $\left ( \bar{R}_{effective},\bar{Z}_{effective} \right )$ ，为了保留系统的径向对称性，我们希望焦点在光轴上，即得到 $\bar{R}_{effective}=0$ ，由相似三角形可得透视模型下使用等效焦距的图像径向坐标：

显然，这样计算会产生误差，SVP系统标定的结果即令所有点在上式的误差最小化来确定一个等效焦距 $\bar{f}_{effective}$ 。

由费马定理得到的目标点 $\left ( r_w,z_w \right )$ 与图像径向坐标 $r_i$ 的关系如下：

将上两式联立可得如下关系：

上式表明，折射引起的畸变与物体到折射面的距离有关，更形象的解释如下图：

折射引起的畸变是非横向的，取决于物体距离。嵌入水中时，方形和圆形对象都投影到同一坐标中。但是，在空中（无畸变投影），对象被投影到不同的坐标中。因此，根据其中一个对象标定径向畸变会在标定另一个对象时产生误差。发生这种情况的原因是畸变是非平移的，并且除了径向坐标外，还取决于对象距离。

定义相对畸变为：

取 $\bar{f}_{effective}=fn$ ， $\bar{Z}_{effective}=-nd$ （入射角较小的情况下）的实验数据如下。

视（相对）径向畸变η是物体距离和图像位置的函数。我们设置d=40mm，f=2500像素。这里有两件有趣的事情值得注意。首先，在d=0的情况下，也就是当系统具有SVP时，畸变比d>0时更严重。其次，随着对象距离的增加，畸变变得类似于d=0的SVP情况。因此，对于远距离对象，透视模型产生的标定误差很小。

当 $z_w$ 增大时，畸变对物体距离的依赖性会减弱。因此SVP适用于远距离对象。

3.水下SVP标定算法

水下SVP标定算法的基本流程如下：

1.找到若干已知的目标点坐标。

2.将目标点由费马原理投影到相面，得到图像坐标

3.利用图像坐标与目标点坐标进行传统水下SVP标定

通过焦散和水下畸变分析我们知道，水下SVP标定在远距离目标，相机视场小（不超过30度），且光轴与折射面垂直的情况下近似非SVP模型时，可取得良好的效果。

参考文献

[1]汤兴粲. 水下摄像机标定与测量算法研究[D].哈尔滨工业大学,2015.

[2]D.G. Burkhard and D.L. Shealy, “Flux Density for Ray Propagation in Geometrical Optics,”J. Optical Soc. Am.,vol. 63, pp. 299-304, 1973

[3]T. Treibitz, Y. Schechner, C. Kunz and H. Singh, "Flat Refractive Geometry," in IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 34, no. 1, pp. 51-65, Jan. 2012, doi: 10.1109/TPAMI.2011.105.

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