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重温《概率论与数理统计》进行查漏补缺,并对其中的概念公式等内容进行总结,以便日后回顾。 目录 第一章 概率论的基本概念 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验 第一章 概率论的基本概念1.随机试验 随机试验——具有下述三个特点的试验:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。 2.样本空间、随机事件 样本空间——随机试验的所有可能结果组成的集合。 样本点——样本空间的元素。 随机事件——随机试验的样本空间的子集。 事件间的关系: 事件B包含事件A:事件A发生必导致事件 事件A与事件B的和事件:当且仅 当A,B中至少有一个发生时。 事件A与事件B的积事件:当且仅当A,B同时发生时。 事件且称为事件A与事件B的差事件:当且仅当A发生、B不发生时。 事件A与B是互不相容的或互斥的:事件 A与事件B不能同时发生。 事件A与事件B互为逆事件.又称对立事件,事件A、B中必有一个发生,且仅有一个发生。 3.频率与概率 在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值n/nA称为事件A发生的频率。 设E是随机试验,S是它的样本空间。对于E的每一事件人赋予一 个实数,记为P(A),称为事件A的概率。如果集合函数P(・)满足下列条件:非负性,规范性,可列可加性。 4.等可能概型 特点: 试验的样本空间只包含有限个元素;试验中每个基本事件发生的可能性相冋。5.条件概率 设A,B是两个事件,且P(A)>0,称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。 全概率公式: 设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…Bn为S的一个划分,且P(Bi)>0(i=1,2,…n),则 贝叶斯公式: 设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…Bn为S的一个划分,且P(A)>0(i=1,2,…n),P(Bi)>0(i=1,2,…n),则 6.独立性 设A,B是两个事件,如果满足等式 则称事件A,B相互独立。 第二章 随机变量及其分布1.随机变量 2.离散型随机变量及其分布 三种重要离散型随机变量 (0-1)分布 设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 则称X服从以为参数的(0 — 1)分布或两点分布. (0-1)分布的分布律也可写成 伯努利试验、二项分布 设试验E只有两个可能结果:A及 以n,p,为参数的二项分布的概率值可以由参数为的泊松分布的概率值近似。 3.随机变量的分布函数 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 称为X的分布函数。 4.连续型随机变量及其概率密度 三种重要连续型随机变量 均匀分布 若连续型随机变量X具有概率密度 则称X在区间 X的分布函数为 指数分布 若连续型随机变量X具有概率密度 其中 X的分布函数为 正态分布 若连续型随机变量X具有概率密度 其中 1. 二维随机变量及分布 设 称为二维随机变量 如果二维随机变量 设二维离散型随机变量 称为二维离散型随机变量 称为二维离散型随机变量 对于给定的 称为 对于二维随机变量 称 分别称为 设二维随机变量 2. 相互独立的随机变量 设 则称随机变量 1. 数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛,则称级数 设连续型随机变量 2. 方差 方差: 标准差: 对于离散型随机变量: 对于连续型随机变量: 设随机变量 成立。这一不等式称为切比雪夫不等式。 切比雪夫不等式给出了在随机变量的分布未知,而知道均值、方差的情况下估计概率 至少有75%的数据在平均数 至少有89%的数据在平均数 至少有94%的数据在平均数 3. 协方差及相关系数 协方差: 相关系数: 4. 矩、协方差矩阵 k阶原点矩(k阶矩): k阶中心矩 k+l阶混合矩 k+l阶混合中心矩 设 都存在,称 1.大数定律:叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值在某种条件下收敛到这些项的算术平均值 弱大数定理(辛钦大数定理) 设 弱大数定理(辛钦大数定理) 设随机变量 伯努利大数定理 设 2. 中心极限定理:是确定在什么条件下,大量随机变量之和的分布逼近于正态分布 设随机变量 的分布函数 (设从均值为 1. 随机样本 设X是具有分布函数F的随机变量,若 2. 抽样分布 样本均值: 样本方差: 样本标准差: 样本k阶(原点)矩: 样本k阶中心矩: 3. 常用统计量分布 (1) 设 服从自由度为n的 (2) 设 服从自由度为n的t分布,记为 (3) 设 服从自由度为 1. 点估计 点估计是适当地选择一个统计量作为未知参数的估计(称为估计量),若已取得一样本,将样本值代入估计量,得到估计量的值,以估计量的值作为未知参数的近似值(称为估计值)。 两种求点估计的方法:矩估计法和最大似然估计法。 矩估计法的做法是,以样本矩作为总体矩的估计量,而以样本矩的连续函数作为相应的 总体矩的连续函数的估计最,从而得到总体未知参数的估计。 最大似然估计法的基本想法是,若已观察到样本 2. 估计量的评选标准 无偏性、有效性、相合性 3. 区间估计 点估计不能反映估计的精度,引入了区间估计。置信区间是一个随机区间,它覆盖未知参数具有预先给定的高概率(置信水平),即对于任意 1. 假设检验 实际推断原理 小概率事件在一次试验中实际上是不会发生的,实际推断原理又称小概率原理。 假设检验 (1)假设是指关于总体的论断或命题,常用字母“H”表示,假设分为基本假设 (2)假设检验:根据样本,按照一定规则判断所做假设 两类错误 拒绝实际真的假设 接受实际不真的假设 显著性检验 (1)显著性水平:在假设检验中允许犯第一类错误的概率,记为α(0 |
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