Machine Learning 学习笔记 03 最小二乘法、极大似然法、交叉熵

神经网络里的标准和人脑标准相比较 相差多少的 定量表达。

首先要搞明白两个概率模型是怎么比较的。有三种思路， 最小二乘法、极大似然估计，交叉熵

当一张图片人脑判断的结果是 (x1)，神经网络判断的结果是 (y1)，直接把它们相减 (\left|x_{1}-y_{1}\right|) 就是他们相差的范围。我们将多张图片都拿过来判断加起来，当最终值最小的时候，(\min \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|) 就可以认定两个模型近似。

但是绝对值在定义域内不是全程可导的，所以可以求平方 (\min \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2})

就这是 最小二乘法，但是只用它判断两个概率模型差别有多少，去作为损失函数会比较困难。所以引入 极大似然估计

似然值是真实的情况已经发生，我们假设它有很多模型，在这个概率模型下，发生这种情况的可能性就叫似然值。

挑出似然值最大的，那可能性也就越高，此时的概率模型应该是与标准模型最接近的。

[\begin{array}{l} P\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}, \ldots, C_{10} \mid \theta\right) \ P\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots, x_{n} \mid W, b\right) \end{array} ]

(\theta) 是抛硬币的概率模型，(W,b) 是神经网络的概率模型。前者结果是硬币是正还是反，后者结果是图片到底是不是猫。

[\begin{array}{l} P\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, \ldots, x_{n} \mid W, b\right) \ =\prod_{i=1}^{n} P\left(x_{i} \mid W, b\right) \end{array} ]

在神经网络是这样的参数下，输入的照片如果是猫概率是多少、如果不是猫概率是多少，所有图片判断后，相乘得到的值就是似然值。取到极大似然值就是最接近的值。

但在训练的时候 (W、b) 无论输入什么样的照片都是固定的值，如果我们都用猫的照片来确定的话标签都是(1)，那就没有办法进行训练，理论可行却没有操作性。但是我们还可以利用条件，训练神经网络的时候既可以得到 (x_{i}) 也可以得到 (y_{i})， (y_{i}) 的输出结果依赖 (W,b) 。每次输入照片不一样，(y_{i}) 的结果也就不一样。

[\begin{array}{l} =\prod_{i=1}^{n} P\left(x_{i} \mid W, b\right) \ =\prod_{i=1}^{n} P\left(x_{i} \mid y_{i}\right) \end{array} ]

(x_{i}) 的取值是 (0、1) ，符合二项伯努利分布，概率分布表达式为

[f(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}=\left{\begin{array}{ll} p, & x=1 \ 1-p, & x=0 \end{array}\right. ]

(x=1) 就是图片为猫的概率。而 (p) 就是 (y_{i}) (神经网络认定是猫的概率)，将其带入替换 $ P\left(x_{i} \mid y_{i}\right)$

[=\prod_{i=1}^{n} y_{i}^{x_{i}}\left(1-y_{i}\right)^{1-x_{i}} ]

我们更喜欢连加，在前面加 (log) ，并化简

[\begin{array}{l} \log \left(\prod_{i=1}^{n} y_{i}^{x_{i}}\left(1-y_{i}\right)^{1-x_{i}}\right) \ =\sum_{i=1}^{n} \log \left(y_{i}^{x_{i}}\left(1-y_{i}\right)^{1-x_{i}}\right) \ =\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} \cdot \log y_{i}+\left(1-x_{i}\right) \cdot \log \left(1-y_{i}\right)\right) \end{array} ]

所以，求极大似然值，就是求如下公式

[\begin{array}{l} \max \left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} \cdot \log y_{i}+\left(1-x_{i}\right) \cdot \log \left(1-y_{i}\right)\right)\right) \ \min -\left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} \cdot \log y_{i}+\left(1-x_{i}\right) \cdot \log \left(1-y_{i}\right)\right)\right) \end{array} ]

要想直接比较两个模型，前提是两个模型类型是同一种，否则就不能公度。概率模型如果想要被统一衡量，我们需要引入熵（一个系统里的混乱程度）。

我们想获取信息量的函数，就要进行定义。并找寻能让体系自洽的公式。

[{f}({x}):=\text { 信息量 }\ {f}( 阿根廷夺冠 )={f}( 阿根廷进决赛 )+{f}( 阿根廷赢了决赛 ) \ f\left(\frac{1}{8}\right)=f\left(\frac{1}{4}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)\ P(\text { 阿根廷夺冠 })=P(\text { 阿根廷进决赛 }) \cdot {P} \text { (阿根廷赢了决赛 })\ ]

将上面的第四条公式带入第三条得到如下第二条。为了使信息量定义能让体系自洽，我们给定定义 (log)，这样符合相乘变相加的形式。

[\begin{array}{c} f(x):=? \log {?} x \ f\left(x{1} \cdot x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right) \end{array} ]

为了符合我们最直观的感觉，因为概率越小，信息量越大。而 (log) 函数单调递增，我们转换方向。

[\begin{array}{c} f(x):=-\log {2} x \ f\left(x{1} \cdot x_{2}\right)=f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right) \end{array} ]

看计算机里多少位数据，给计算机输入一个16位数据，输入之前随便取的值是 (1/2^{16}) 的概率 ，输入之后的概率直接变为了 (1) 。信息量就是 (16) 比特。

信息量可以理解为一个事件从原来不确定到确定它的难度有多大，信息量大，难度高。

熵不是衡量某个具体事件，而是整个系统的事件，一个系统的从不确定到确定难度有多大

它们都是衡量难度，单位也可以一样都是比特。

将上方对系统贡献的信息量可以看成是期望的计算。

KL散度绝对是大于等于(0) 的，当(Q、P) 相等的时候等于(0) ，不相等的时候一定大于(0)

为了让(Q、P) 两个模型接近，所以必须使交叉熵最小

交叉熵中 (m) 是两个概率模型里事件更多的那个，换成 (n) 是图片数量。

对(m)选择的解释：假如(p)的事件数量是(m)，(q)的事件数量是(n)，(m＞n)，那么写成(∑)求和，用较大的(m)做上标。就可以分解为，(∑1到n+∑n+1到m)，那么对于(q)来说，因为(q)的数量只有(n)，那么对应的(q)的部分(∑n+1到m)都等于(0)。

[\begin{array}{l} \boldsymbol{H}(\boldsymbol{P}, \boldsymbol{Q}) \ =\sum_{i=1}^{m} p_{i} \cdot\left(-\log {2} q{i}\right) \ =\sum_{i=1}^{n} x_{i} \cdot\left(-\log {2} q{i}\right) \ =-\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} \cdot \log {2} y{i}+\left(1-x_{i}\right) \cdot \log {2}\left(1-y{i}\right)\right) \end{array} ]

(P) 是基准，要被比较的概率模型，我们要比较的人脑模型，要么完全是猫要么不是猫。

(x_{i}) 有两种情况，而 (y_{i}) 只判断图片有多像猫，并没有去判断相反的这个猫有多不像猫，而公式里的 (x_{i}) 与 (q_{i}) 要对应起来，当 (x_{i}) 为 (1) ，要判断多像猫，当 (x_{i}) 为 (0) 的时候，要判断不像猫的概率。

最后我们推导出来，公式跟极大似然推导出来的是一样的。但是从物理角度去看两者是有很大不同的，只是形式上的一样。

Original: https://www.cnblogs.com/linxiaoxu/p/16111397.htmlAuthor: 小能日记Title: Machine Learning 学习笔记 03 最小二乘法、极大似然法、交叉熵

图片、css、js、音频、视频等都属于静态文件

（1）在setting.py 中配置静态文件的访问路径

（2）模板中静态文件访问方案1 –直接拼接访问路径

方案2 –img标签为例通过 {%static%} 标签访问静态文件步骤：① 加载static —》{%load static%}② 使用静态资源 —》 {%static ‘静态资源路径’ %}样例：

setting.py

urls.py

views.py

templates/test_static.html

目录结构如下，在项目下建static/image文件夹，存放了2张图片

例如，在setting.py 中修改 为’/statics/’，

再次访问，查看源代码码，只有方案二动态变为statics,其他的还是static，所以只可以访问到第三张图片

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