椭圆旋转楼梯的施工放样

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.椭圆弧长计算公司的近似解析

由上述分析可知椭圆弧长

式中 :ρ = ( a sin t) 2 + ( bcost) 2 , 称为椭圆弧长的导数。椭圆弧长属于第二类勒让德 (Legendre) 椭圆积分 , 积分结果无法用解析解显式表示 [ 5 ] 。

椭圆楼梯施工放样和力学分析时将进行 t和 l ( t) 之间的互逆运算。求解椭圆弧长 l ( t) 关于参数 t的解析表达式 , 既可以进行手算 , 同时可以与机算结果互相校 核。利用 1 + x2 在其收敛半径 | x | ≤ 1内的二项级数展开式 , 将椭圆弧长积分展开为级数表达式 , 从而求出椭圆弧长的近似解析解 :

由于椭圆弧长为定值 , 故展开式 ( 2) 在其收敛半径内是收敛的 , 并且可以逐项积分。将偏心率 e = 1 - ( b / a) 2 = 0. 820 54 代入上式 , 并取上式的前十项进行积分 , 作为近似值 l ( t) 10 , 误差用ε( t) 表示 , 则有 l ( t) = l ( t) 10 +ε( t) , 且有

再将 a = 4 200, b = 2 400代入上式 , 得 l ( 2π) 10 = 21 123. 276 8,与利用 Matlab编程算出来的精确值 21 121. 897 33相比 ,误差为 0. 065‰, 非常接近, 表明 ( 3) 式可以当作椭圆弧长计算公式的近似解析解。

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.椭圆螺旋楼梯的施工放样

清楚了椭圆旋转楼梯的几何性质 ,并用数学语言准确描述之后 , 就可以进行施工放样。根据建筑图 , 楼梯中心线上踏步的起点 A1、中间休息平台A18和 A19点、以及踏步的终点 A33均已经确定 ,同时已知 A1 ～A18、A19 ～A33之间分别有 17个和 14 个等分的踏步 ,如图 2所示。

施工放样实际上变成了求解 A1 ～A18之间的 17个等分点、A19 ～A33之间 的 14个等分点所分别对应的参数 t。已知椭圆弧长反求 t的过程中 , 无论采用精确计算公式 ( 1) 还是近 似计算公式 ( 3) , 都采用 New ton迭代法 , 即给定适当的初始值 t代入公式进行计算 , 直至计算出的弧长 与等分弧长误差满足要求 [ 6 ] 。求出中心线各点对应的参数 t, 就可求出中心线上等分点 A i的坐标。

楼梯的踏步属于直纹曲面的 v线 , 平行于 xoy平面 , 所以内、外边线的等分点 B i 和 Ci 的 z坐标等同于中心线上等分点 Ai 的 z坐标。v线垂直于中心曲线 t 线 , 所以直线 B i Ai Ci 平行于中心曲线 Ai 点处的主法矢方向。中线曲线 , 即螺旋曲线 , 在水平面上的投影为椭圆 , 任一点 Ai 处的法角大小为 :

β = arctank 法 = arctan a tan t b=bcost arccos ρ( t) = arcsin a sin t ρ( t)

如图 3, 根据参数 t、法角 β和距离 v0 , 利用椭圆 参数方程 L ∶r( t) 和椭圆等距线方程 LE ∶r( t) 进行直角坐标放样;或者利用椭圆旋转角 θ的参数方程 , 进行极坐标放样。参数 t (亦称之为椭圆离心角 ) 和旋转角θ的关系如图 4所示 ,θ = arctan ( b tan t / a) , 以θ β = arctank 法 = arctan a tan t b 为参数的椭圆方程为 :

这样椭圆旋转楼梯的中心线、内外边上各等分点 Ai 、B i 、Ci 的坐标均已求出 , 即可进行施工放样。同时根据各点在水平面上的投影 , 可以制作楼梯踏步的面砖等。 Ai 、B i 、Ci ( i = 2 ～ 17) 计算流程见图 5, 其中的参数等分变量 tn = 4. 543 57, 弧度等分变量 ln = 271. 817 56。

手算和 M atlab编程计算结果十分接近 , 现摘录手算参数 t的计算结果见表 2。i = 20 ～ 32时计算方法类似。另一半对称即可。

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.结语

结合实际工程背景 ,依据椭圆螺旋楼梯的微分几何数学模型 ,进行该楼梯的弧长等分施工放样。推导出椭圆弧长计算公式的近似解析解 ,并依此迭代手算各弧长等分点相对应的参数 t。同时利用Matlab软件编程对椭圆弧长的精确公式进行计算。

手算和机算的结果比较 ,表明该近似解析解的精度完全满足工程设计的要求。

注明：本文摘自网络整理编辑

参考文献：

[ 1 ] 孙培生,孙培华. 钢筋混凝土楼梯设计手册 [M ].

北京: 中国建筑工业出版社, 1999.

[ 2 ] 时旭东,丁大益. 椭圆形旋转楼梯内力分析及机算[ J ].

清华大学学报 (自然科学版) , 2003, 43 ( 6) : 844 - 848.

[ 3 ] 何育忠. 螺旋楼梯的施工立模放线方法 [ J ]. 珠江水运, 2003 ( 11) : 42 - 43. [ 4 ] 陈维恒. 微分几何 [M ]. 北京:北京大学出版社, 2006.

[ 5 ] 现代工程数学手册编委会. 现代工程数学手册

(第 I卷 ) [M ]. 武汉:华中工学院出版社, 1985.

[ 6 ] 张德丰. Matlab数值分析与应用[M ]. 北京:国防工业出版社, 2007.返回搜狐，查看更多