平均値の定理まとめ（証明・問題・使い方）

数学Ⅲ2024.04.15

東大塾長の山田です。

このページでは、平均値の定理について詳しく説明しています！

形は簡単な平均値の定理ですが、その証明や入試における使い方などをしっかりと把握するのはなかなか難しいです。それらの事項について、一つ一つ丁寧に解説していきます。

ぜひ勉強の参考にしてください！

平均値の定理とは、以下のことを指します。

区間\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能な関数\(f(x)\)について

\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\]

なる\(c\)が、\(a\)と\(b\)の間に存在する。

これだけだと意味が分からない人もいると思うので、下でその意味について解説していきます！

まず、区間\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能という言葉についてですが、これは\(a≦x≦b\)で連続で、その端点については微分不可能でもよいということを述べています！

平均値の定理そのものについてですが、下図のように図形的に解釈するとわかりやすいです。

つまり、平均値の定理は

「\((a, f(a))\)と\((b, f(b))\)を結ぶ直線の傾き\(\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)」と「\(x=c\)における接線の傾き\(f'(c)\)」が等しくなるような、\(c\)が存在する

ということを言っているのです。この説明で、大体の人はイメージをつかむことができたのではないでしょうか。

平均値の定理より

\[f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\]

となります。この式は

「\(f(b)-f(a)\)から因数\(b-a\)を取り出す道具」

と捉えることができます！言い換えるならば、

「平均値の定理」⇔「\(f(b)-f(a)\)を因数分解する定理」

とできます！\(c\)が正確にわからないのが難点ですが、こういった視点も持ち合わせておくと良いでしょう。

次に、平均値の定理を証明してみましょう。平均値の定理の証明は

という２ステップで行われます。早速行っていきましょう！

最大値の原理とは、「有界閉区間上の連続関数は最大値を持つ」というもので、感覚的には当たり前のものです。ここでの証明は省きます。（その逆の最小値の定理というものも存在します）

そしてロルの定理とは以下のことです。

区間\([a,b]\)で連続、\((a,b)\)で微分可能な、\(f(a)=f(b)\)なる関数\(f(x)\)について

\[f'(c)=0\quad (af(t)\)なる\(t\)が存在するとき

最小値の原理（最大値の原理の逆）より、\(a