自动控制系统的时域分析法

前面学习了控制系统的数学模型。分析、研究和设计控制系统的首要工作是确定系统的数学模型，一旦获得系统的数学模型，便可以用不同的方法分析控制系统的性能。

时域分析法是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接求解出在某种典型输入作用下，系统输出量随时间t变化的表达式，即时间相应。然后根据此表达式或其相应的描述曲线来分析系统的稳定性、快速性和准确性。

时域分析法具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。

为了求解系统的时间相应，必须已知输入信号的解析表达式。

在分析和研究控制系统时，需要选取一些具有代表性的实验信号作为系统的输入，称为典型输入信号。

幅值为无穷大、持续时间为零的理想脉冲信号实际上是无法得到的。脉冲宽度很窄的电压信号、瞬间作用的冲击力等都可以近似为脉冲信号。

单位脉冲信号可以用于考察系统在脉冲扰动后的恢复运动。

单位阶跃信号表示在t=0处，输入量的幅值瞬间由0突变为1的过程。

若信号突变的幅值不为1，如 r ( t ) = R 1 ( t ) r(t) = R 1(t) r(t)=R1(t)，则表示信号为幅值等于R的阶跃函数，其中R为常量。

时域分析中，单位阶跃信号用得最为广泛，实际电路中，开关的转换、电源的突然接通、负荷的突变等，均可视为阶跃信号。

单位阶跃信号可用做考察系统对恒值信号的跟踪能力时的输入信号。

单位斜坡信号表示由零值开始随时间t线性增长的信号，其斜率为1.

若斜率不为1，如 r ( t ) = R t r(t) = R t r(t)=Rt，则表示信号为斜率等于R的斜坡信号。

在闸门均速升降、工件匀速运动时，其位置信号均可视为斜坡信号。

单位斜坡信号是用于考查系统对匀速信号跟踪能力时的实验信号。

单位抛物线信号表示信号的大小随时间t以加速度为1的等加速度增加。

以在、恒转矩启动的电动机位置信号，可视为等加速度信号。

单位抛物线信号是用于考察系统对于等加速度信号的跟踪能力时的实验信号。

初始状态为零的控制系统，在典型输入信号作用下的输出，称为典型时间响应。

通常，把控制系统的时间响应按时间的顺序划分为动态过程和稳态过程两部分。

动态过程也称为暂态过程或过渡过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从初始状态到最终状态的过程。根据系统结构和参数选择的情况，动态过程表现为衰减、发散和等幅振荡几种形态。

显然，一个可以正常运行的控制系统，其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。

稳态过程也称为系统的稳态响应，指系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统输出量的表现形式。

稳态过程表征系统输出量最终复现输入量的程度，提供系统稳态误差的信息，用系统的稳态性能描述。

实际应用中认为，当系统的输出对其输入的复现进入允许的误差范围后，系统即进入稳态。

描述稳定的系统在单位阶跃信号作用下，动态过程随时间t变化的指标，称为动态性能指标。

通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。稳定的系统(不计扰动)的单位阶跃响应函数有衰减振荡和单调变化两种。

输出响应第一次达到稳态值的50%所需的时间。

输出响应第一次达到稳态值y(∞)所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。

输出响应超过稳态值达到第一个峰值 y m a x y_{max} ymax​所需要的时间。

瞬态过程中输出响应的最大值超过稳态值的百分数。

当y(t)和y(∞)之间的误差达到规定的范围之内[一般取y(∞)的士5%或土2%,称允许误差范围，用D表示]且以后不再超出此范围的最小时间。即当t≥t,有:

这种系统就无需采用峰值时间和最大超调量这两个指标。

此时最常用的是调节时间这一指标来表示瞬态过程的快速性。

有时也采用上升时间这一指标。

事实上，当响应时间 t > t s t > t_s t>ts​时，系统的输出响应就进入了稳态过程。

稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，它是指t趋于无穷时，系统期望输出与实际输出之间的差值。

稳态误差 e s s e_{ss} ess​越小，系统的控制精度就越高。