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经济数学泰勒级数与幂级数

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一、泰勒级数的概念

由泰勒公式知,

如果函数

在点 的某领域内

有 阶导数,

则对于该领域内的任意一点,

有

其中

介于 与

之间.

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定理 1

设

在区间 内存在任意阶

的导数,

幂级数

的收敛区间

为

则在区间 内

成立的充分必要条件是:

在该区间内

式右边的级数称为

在点 处的泰勒

级数.

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麦克劳林级数

时的泰勒级数

称为 的麦克劳林级数.

注:

由上节定理 可知,

如果函数 能在某个

区间内展开成幂级数,

则它必定在这个区间内的每

一点处具有任意阶的导数.

即没有任意阶导数的函

函数的麦克劳林级数

数是不可能展开成幂级数的.

是 的幂级数,

可以证明,

如果 能展开成 的

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是 的幂级数,

可以证明,

如果 能展开成 的

幂级数,

则这种展开式是唯一的,

的麦克劳林级数.

它一定等于

由函数 的展开式的唯一性可知,

展开成

的幂级数,

克劳林级数.

但是,

反过来如果 的麦克劳林级

它却不一定收敛于

数在点 的某领域内收敛,

如果

能

则这个幂级数就是

的麦

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例如,

函数

在 点任意阶可导,

所以 的麦克劳林级数为

该级数在

内和函数

显然,

的麦氏级数处处不收敛于

且

除 外,

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因此,

虽然

当 在 处具有各阶导数时,

的麦克劳林级数能被作出来,

是否能在某个区间内收敛,

却需要进一步考虑.

但这个级数

以及是否收敛于

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二、将函数展开成幂级数的方法

步骤:

(一) 直接法

第八页，共40页。

既：

把函数 展开成泰勒级数,

可按下列步骤进行:

计算

写出对应的泰勒级数

并求出该级数的收敛区间

验证在 内,

写出所求函数 的泰勒级数及其收敛区间.

完

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例

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