【笔记】 通信原理 第七章 数字带通传输系统

用数字基带信号控制载波，把数字基带信号变换为数字带通信号的过程称为数字调制。

把包括调制和解调过程的数字传输系统叫做数字带通传输系统。

​ 振幅键控是利用载波的幅度变化来传递数字信息，而频率和初始相位保持不变。通过二进制振幅键控方式生成2ASK称为通-断键控（OOK）。将表示信息的脉冲信号和载波信号时域相乘得到2ASK信号。 e 2 A S K = s ( t ) c o s ω c t e_{2ASK}=s(t)cos\omega_ct e2ASK​=s(t)cosωc​t

2ASK的产生方式有两种：模拟调制法（利用相乘器实现），键控法（利用开关电路实现）。

解调方式也有两种：非相干解调（包络检波法）和相干解调（同步检测法）。

但是ASK传输技术受噪声影响很大。

​ 2ASK信号的功率谱密度表达式： P 2 A S K ( f ) = 1 4 [ [ P s ( f + f c ) + P s ( f − f c ) ] ] P_{2ASK}(f)=\frac14[[P_s(f+f_c)+P_s(f-f_c)]] P2ASK​(f)=41​[[Ps​(f+fc​)+Ps​(f−fc​)]] 是单极性基带信号功率谱的线性搬移（线性调制）。

​ 频移键控是通过载波的频率变化来传递数字信息的。在发送1和0时，信号的频率不同，所以也可以分解成两种不同频率脉冲信号的叠加。 e 2 F S K = s 1 ( t ) c o s ( ω 1 t + φ n ) + s 2 ( t ) c o s ( ω 2 t + θ n ) e_{2FSK}=s_1(t)cos(\omega_1t+\varphi_n)+s_2(t)cos(\omega_2t+\theta_n) e2FSK​=s1​(t)cos(ω1​t+φn​)+s2​(t)cos(ω2​t+θn​)

2FSK信号的功率谱密度表达式： P 2 F S K ( f ) = 1 4 [ P s 1 ( f − f 1 ) + P s 1 ( f + f 1 ) ] + 1 4 [ P s 2 ( f − f 2 ) + P s 2 ( f + f 2 ) ] P_{2FSK}(f)=\frac14[P_{s1}(f-f_1)+P_{s1}(f+f_1)]+\frac14[P_{s2}(f-f_2)+P_{s2}(f+f_2)] P2FSK​(f)=41​[Ps1​(f−f1​)+Ps1​(f+f1​)]+41​[Ps2​(f−f2​)+Ps2​(f+f2​)]

相位不连续2FSK信号的功率谱密度由连续谱和离散谱组成，连续谱由两个中心在f1和f2的双边谱组成。

连续谱的形状由 ∣ f 1 − f 2 ∣ |f_1-f_2| ∣f1​−f2​∣的变化而变化，若 ∣ f 1 − f 2 ∣ < f B |f_1-f_2|−2σn2​x2​}

b ∗ = a 2 + σ n 2 a l n P ( 0 ) P ( 1 ) b^*=\frac a2+\frac{\sigma_n^2}aln{\frac{P(0)}{P(1)}} b∗=2a​+aσn2​​lnP(1)P(0)​

如果发送1和0的概率相同，则门限为 b ∗ = a 2 b^*=\frac a2 b∗=2a​

2ASK相干解调时系统的误码率为

P e = 1 2 e r f c ( a 2 2 σ n ) = 1 2 e r f c ( r 4 ) P_e=\frac12erfc(\frac{a}{2\sqrt2\sigma_n})=\frac12erfc(\sqrt\frac{r}{4}) Pe​=21​erfc(22 ​σn​a​)=21​erfc(4r​ ​)

其中 r = a 2 2 σ n 2 r=\frac{a^2}{2\sigma_n^2} r=2σn2​a2​，为解调器输入端的信噪比，

当r>>1时，

P e ≈ 1 π r e − r / 4 P_e\approx\frac1{\sqrt{\pi r}}e^{-r/4} Pe​≈πr ​1​e−r/4

发1时的抽样值是广义瑞利型随机变量，发0时的抽样值是瑞利型随机变量。一维概率密度函数分别为

f 1 ( V ) = V σ n 2 I 0 ( a V σ n 2 ) e − ( V 2 + n 2 ) / 2 σ n 2 f 0 ( V ) = V σ n 2 e − V 2 / 2 σ n 2 f_1(V)=\frac V{\sigma_n^2}I_0(\frac{aV}{\sigma_n^2})e^{-(V^2+n^2)/2\sigma_n^2}\\ f_0(V)=\frac V{\sigma_n^2}e^{-V^2/2\sigma_n^2} f1​(V)=σn2​V​I0​(σn2​aV​)e−(V2+n2)/2σn2​f0​(V)=σn2​V​e−V2/2σn2​

其中 I 0 ( ⋅ ) I_0(\cdot) I0​(⋅)为修正的0阶第一类贝塞尔函数。

当发送1和0的概率相等时，系统的总误码率 P e = 1 2 { 1 和 0 概率密度函数图形交叉阴影 } P_e=\frac12\{1和0概率密度函数图形交叉阴影\} Pe​=21​{1和0概率密度函数图形交叉阴影}。门限处于两条曲线的相交点时，误码率最小。

当r>>1时，f1退化成正态分布，误码率可以简化为

P e = 1 4 e r f c ( r 4 ) + 1 2 e − r / 4 P_e=\frac14erfc(\sqrt\frac r4)+\frac12e^{-r/4}\\ Pe​=41​erfc(4r​ ​)+21​e−r/4

当 r → ∞ r\to\infty r→∞时，误码率的下界为

P e = 1 2 e − r / 4 P_e=\frac 1 2e^{-r/4} Pe​=21​e−r/4

当r相同时，相干解调的误码率小于包络检波法。但是在大信噪比下差别不大。

​ 采用带通滤波器只允许相应的频率成分通过，从而进行信码识别。

​ 系统的总误码率为 P e = 1 2 e r f c ( r 2 ) P_e=\frac12erfc(\sqrt\frac{r}2) Pe​=21​erfc(2r​ ​) ​ 当信噪比r>>1时，可以近似为 P e ≈ 1 2 π r e − r / 2 P_e\approx\frac1{\sqrt{2\pi r}}e^{-r/2} Pe​≈2πr ​1​e−r/2

​ 系统的总误码率为 P e = 1 2 e − r / 2 P_e=\frac12e^{-r/2} Pe​=21​e−r/2 ​ 大信噪比条件下，包络检波与相干解调的性能相差不大，但相干解调的设备复杂得多。

​ 系统的总误码率为 P e = 1 2 e r f c ( r ) P_e=\frac12erfc(\sqrt r) Pe​=21​erfc(r ​) ​ 大信噪比下，近似为 P e ≈ 1 2 π r e − r P_e\approx\frac1{2\sqrt{\pi r}}e^{-r} Pe​≈2πr ​1​e−r

​ 系统的误码率为 P e = 1 2 [ 1 − ( e r f r ) 2 ] P_e=\frac12[1-(erf\sqrt r)^2] Pe​=21​[1−(erfr ​)2] ​ 大信噪比下，近似为 P e ≈ e r f c ( r ) P_e\approx erfc(\sqrt r) Pe​≈erfc(r ​)

​ 系统的误码率为 P e = 1 2 e − r P_e=\frac12e^{-r} Pe​=21​e−r

B 2 A S K = B 2 P S K = 2 T B B 2 F S K = ∣ f 2 − f 1 ∣ + 2 T B B_{2ASK}=B_{2PSK}=\frac2{T_B}\\ B_{2FSK}=|f_2-f_1|+\frac2{T_B} B2ASK​=B2PSK​=TB​2​B2FSK​=∣f2​−f1​∣+TB​2​

之前的分析都假定了衡参信道，但是实际很多信道的特性是随参的。

目的：提高信道的频带利用率。

代价：误码率增大，系统复杂。增加发射功率，功率效率下降。

​ 设 f 1 f_1 f1​为最低载频， f M f_M fM​为最高载频， Δ f \Delta f Δf为单个码元的带宽，则MFSK的带宽近似为 B = f M − f 1 + Δ f B=f_M-f_1+\Delta f B=fM​−f1​+Δf

产生方法：正交调相法，相位选择法。

正交调相法：将二进制不归零双极性码元，经过“串/并变换"电路变成并行码元a和b，每个码元持续时间是之前2倍。之后分别与两个正交载波相乘，再相加，最后形成QPSK信号，是QPSK的B方式（11代表45°，01代表135°，00代表225°，10代表315°）。

相位选择法：由串并变换后的a和b控制四种相位的选择输出。 -

类似于2DPSK，QDPSK通过前后码元的相位差来表示信码。相位差用两个比特表示，角度同上图一样。A方式相位差取0,90,180,270。B方式取45,135,225,315。B方式中相邻码元之间总有相位的改变，有利于接收端提取码元同步。

​ 与QPSK信号的产生方法相似，只是需要将输入基带信号先经过码变换器把绝对码变成相对码，再去调制载波。

MASK的误码率为

P e = ( 1 − 1 M ) e r f c ( 3 M 2 − 1 r ) P_e=(1-\frac1M)erfc(\sqrt{\frac{3}{M^2-1}r}) Pe​=(1−M1​)erfc(M2−13​r ​)

当M=2时，误码率为

P e = 1 2 e r f c ( r ) P_e=\frac12erfc(\sqrt r) Pe​=21​erfc(r ​)

各种键控体制的信噪比r都为：

r = a 2 2 σ n 2 r=\frac{a^2}{2\sigma^2_n} r=2σn2​a2​

非相干解调时的误码率写为：

P e ≤ M − 1 2 e − r / 2 P_e\le\frac{M-1}2e^{-r/2} Pe​≤2M−1​e−r/2

MFSK信号以增大占用带宽换取误码率的降低，但是也会使系统更加复杂。

MFSK信号相干解调时的设备复杂，应用较少。

相干解调时的误码率上界为

P e ≤ ( M − 1 ) e r f c ( r ) P_e\le(M-1)erfc(\sqrt r) Pe​≤(M−1)erfc(r ​)

当 k = l o g 2 M > 7 k=log_2M>7 k=log2​M>7时，相干解调和非相干解调的误码率区别可以忽略。

保持误码率和信息传输速率不变时，随着M的增大，需要增大发射功率，但需要的传输带宽降低了。

当M大时（ M ≥ 4 M\ge4 M≥4，相干解调），MPSK的误码率公式为

P e ≈ e r f c ( r s i n π 2 M ) P_e\approx erfc(\sqrt rsin\frac\pi{2M}) Pe​≈erfc(r ​sin2Mπ​)

OQPSK和QPSK的抗噪声性能完全一样。

MDPSK信号（ M ≥ 4 M\ge4 M≥4，相干解调）的误码率近似为

P e ≈ e r f c ( 2 r s i n π 2 M ) P_e\approx erfc(\sqrt{2r}sin\frac\pi{2M}) Pe​≈erfc(2r ​sin2Mπ​)