Parseval恒等式、Wirtinger不等式、Poincaré不等式、等周不等式

引入

本文介绍数学分析中傅里叶级数的应用。在高二学习物理的时候，我想过一个这样的问题：把一根通了恒定电流的轻质闭合曲线放在平地上，所在环境内充满了匀强磁场，那么在安培力作用下，曲线形状会发生改变（可以看作有力在向四周拉扯闭合曲线），那么曲线最后保持的形状会是什么样子呢？我当时大概想的是取微元分析，并对其求和，可以知道安培力对曲线做的功  ，其中  为磁感应强度大小和电流强度大小，为给定值， 指的是闭合曲线围成面积的改变量。曲线最后保持的形状是稳定的，因为如果用外力挤压闭曲线让其变形后再撤销该力，曲线必然又在安培力作用下还原成稳定的最终形状，所以安培力在将这个闭曲线拉扯成一个图形的过程中，让图形面积越来越大，大到不能再大了即为稳定。故问题转换为：求周长为一给定值的简单闭曲线可围成图形的最大面积。当时我无法解决这个问题，并且这个物理分析也不严谨，但是后文可以相对严谨地证明：上述面积最大时，图形为一个圆。这就和我们最后要介绍的等周不等式相关。

总结

如此一来，在开头提到的物理问题就有了进一步的解释。本文我们利用傅里叶级数将函数、级数、积分放在一起研究，得到了著名的帕塞瓦尔恒等式以及由其推出的几个不等式。