帕塞瓦尔定理(能量守恒定理)

2024-06-02 07:24| 来源: 网络整理| 查看: 265

物理学和工程学上使用的记号

在物理学和工程学中, 帕塞瓦尔定理通常描述如下:

$\int_{-\infty}^\infty | x(t) |^2 \, dt = \int_{-\infty}^\infty | X(f) |^2 \, df$

其中 $X(f) = \mathcal{F} \{ x(t) \}$ 为 x(t) 的连续傅立叶变换（以归一化酉形式），而f代表x的频率分量（非角频率）

帕塞瓦尔定理的此表达形式解释了波形x(t)依时间域t累积的总能量与该波形的傅立叶变换X(f)在频域域f累积的总能量相等。

对于离散时间信号，该理论表达式变换为：

$\sum_{n=-\infty}^\infty | x[n] |^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | X(e^{i\phi}) |^2 d\phi$

其中，X为x的离散时间傅立叶变换(DTFT)，而Φ为x的角频率（度每样本）。

此外，对于离散傅立叶变换 (DFT)，表达式变换为：

$\sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2 = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2$

其中，X[k]为x[n]的DFT变换，变换前后样本长度皆为N。

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