信号处理基础知识

        信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。

        傅立叶理论：一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数的和，称为傅立叶展开式。其可以确定信号中包含的所有频率，提供了有关频率域的信息，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时间，时间方面的局部化信息基本丢失。

       数字滤波器在信号和噪声的频带相互重叠的情况下，往往效果较差，小波变换则具有良好的时频局部化特性，在此类情况中具有独特的优势。 

        信号三大变换是时间域变换、频率域变换和小波变换。它们之间的关系如下:

        1.时间域变换: 将信号在时间轴上进行变换，可以得到信号的时域特性,例如信号的幅度、相位、波形等。常见的时间域变换包括傅里叶级数、傅里叶变换和拉普拉斯变换。

        2.频率域变换: 将信号在频率轴.上进行变换，可以得到信号的频域特性,例如信号的频谱、频率分量等。常见的频率域变换包括傅里叶变换和功率谱密度估计。

        3.小波变换: 将信号在时频域上进行变换,可以得到信号的局部时频特性,例如信号的瞬时频率、瞬时幅度等。小波变换可以在不同尺度上对信号进行分解和重构,因此被广泛应用于信号处理领域。

        这三种变换之间存在- -定的联系和转换 关系,例如傅里叶变换可以通过拉普拉斯变换推导出来，小波变换也可以看作是- -种特殊的傅里叶变换。同时,不同变换之间也可以相互转换,例如可以通过傅里叶变换得到信号的频谱， 再通过逆傅里叶变换将其转换回时域。

        因为实际项目处理的信号很多都是离散信号，故只介绍离散小波变换当作备忘。

        设长度为 的信号 被噪声 所污染，所测得的含噪数据 为

​​​​​​        根据小波变换的线性特性可以得到，变化后的含噪数据 为信号 和噪声 小波变换的之和。因此，对含噪数据 进行多尺度小波变换后，在各尺度下抑制噪声 的小波系数，保留信号 的小波系数，最后重构即可实现去噪目的。

       利用小波阈值收缩法实现对信号的保留和噪声的抑制，是小波变化去噪中使用最广泛的方法，该方法可以实现在最小均方差意义达到近似最优。其主要理论依据是，经过小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的幅值。因此可以设定一个阈值，使幅值低于阈值的小波系数置零，高于阈值的小波系数保留或作收缩处理，最后进行小波重构即可完成去噪。

        在实际信号处理中，小波分解和阈值处理两个步骤往往需要确定相关的参数：

        a. 小波分解：小波基的选择与分解层数的确定

        小波基的选择和分解层数的确定是小波分解中的需要确定的参数。对于小波基的选择标准，往往通过不同小波的支撑长度、对称性、正则性、与信号波形的相似性等方面考虑。

        LINK：有关小波的几个术语及常见的小波基介绍

        对于分解层数的选择，往往根据奈奎斯特采样定理可得在进行第 层分解时，各个频段的范围与实际要求综合确定。分解层数越多虽然噪声和信号的分离程度越明显，但是信号重构后的失真程度也越严重。

        各个频段的分解范围下限值  如下式所示：

式中 为信号的采样频率。

举例：语音信号分解项目，

        语音信号频率范围和小波分解的频率分布决定了小波分解的层数。

        语音信号在经过四级小波分解之后，在第四级的低频部分（离散逼近信号）的频率范围为0~500Hz。语音信号的频率范围一般为300~3400Hz，因此若再做一次分解，那么第五级的低频部分的频率范围将是0~250Hz，显然己低于语音信号的频率范围的下限。对于这一部分的处理将失去意义。所以，对采样率为8kHz 的语音信号一般只做四级小波分解，若采样频率发生变化，则对语音信号的小波分解级数也将相应地发生变化。

 Ref. 邓玉娟. 基于小波变换的语音阈值去噪算法研究[D]. 重庆大学,2009.

        b. 阈值处理：阈值的选取和阈值函数的选择

        阈值处理步骤通过阈值和阈值函数抑制含噪信号的小波系数。

        阈值主要有四种选择：固定阈值(sqtwolog)、无偏似然估计阈值(rigrsure)、极大极小阈值(minimaxi)和启发式阈值(heursure)。sqtwolog阈值和heursure阈值去噪效果相对另外两种阈值更彻底，但是也可能会把有用的信号去除。

        阈值函数有硬阈值(Hard threshold)和软阈值(Soft threshold)两种阈值函数。硬阈值对于信号细节的信息保留的较为完整，但也存在部分噪声残留；软阈值处理的信号较为平滑，也使得部分细节信号遗失。