博弈论的算法总结

博弈论又被称为对策论（Game Theory），既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。

博弈，具体的例子就是下棋，双方都考虑最有利于自已的步骤，但是最终必有一方输，一方赢。

博弈的策略：参与者在行动之前所准备好的一套完整的行动方案，就是想好下完这步棋，对方会如何下，

以及接下来该如何下，最终得出结果。

下面我主要讲一些关于算法比赛中用到的博弈类型： 首先你要理解必胜状态和必败状态：

对下先手来说，

一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继都是必败状态。 　　 一个状态是必胜状态当且仅当它至少有一个后继是必败状态。

就是说，博弈者，一旦捉住了胜利的把柄，必然最后胜利。

博弈中常常用到的： 　　两个整数，不用中间变量实现交换。 　　a b; 　　a = a^b; 　　b = a^b; 　　a = a^b;

百度百科：

巴什博弈：只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物， 规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。

显然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m个，所以，无论先取者拿走多少个，后取者都能够一次拿走剩余的物品，后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则：如果n=（m+1）r+s，（r为任意自然数，s≤m),那么先取者要拿走s个物品，如果后取者拿走k（≤m)个，那么先取者再拿走m+1-k个，结果剩下（m+1）（r-1）个，以后保持这样的取法，那么先取者肯定获胜。总之，要保持给对手留下（m+1）的倍数，就能最后获胜。这个游戏还可以有一种变相的玩法：两个人轮流报数，每次至少报一个，最多报十个，谁能报到100者胜。对于巴什博弈，那么我们规定，如果最后取光者输，那么又会如何呢？（n-1）%（m+1）==0则后手胜利

先手会重新决定策略，所以不是简单的相反行的 例如n=15，m=3 后手 先手 剩余 0 2 13 1 3 9 2 2 5 3 1 1 1 0 0 先手胜利 输的人最后必定只抓走一个，如果>1个，则必定会留一个给对手

一定要去百度百科上面，先理解透意思。

下面是一些威佐夫博弈的总结： 　　 威佐夫博弈（Wythoff’s game）：有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 这种情况下是颇为复杂的。我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，…,n)（表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。 前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。注：k表示奇异局势的序号， 第一个奇异局势k=0。 可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。 重要结论：（a,b）b>= a的，如果（int)（b-a）*(Math.sqrt(5)+1)/2 == a,那么先手必输。 如果不等，后者必输。

设当前局势为(a,b）； a b[k]：从第二堆取走b−b[k]个石子，转化为(a,b[k])a == a[k]&&b < b[k]：同时从两堆取走a−a[b−a]个石子，转化为(a[b−a],b−a+a[b−a])a > a[k]&&b == b[k]：从第一堆取走a−a[k]个石子，转化为(a[k],b)a < a[k]&&b == b[k]：若a==a[j] (ja(6-4)=a2=3 6>b(6-4)=b2=5 从两堆中取走a-a(b-a)=4-3=1个，变成奇异局势(3,5)。

可以理解成变成差为b-a的奇异局势。

如果a=bk并且b-a!=k，则从b堆中取走b-ak个，变成奇异局势(ak，bk).

例如，5 10 ，5=b2 10-5=5!=2 则从10中取走10-a2=10-3=7个，变成奇异局势(3,5)。

为什么要b-a!=k呢？例如7 10 ， 7=a3，10-7=3=k 也可以变成奇异局势(4,7)。但这已经在4）判断过了。

奇异局势就是当你面临这种情况的时候，你必然是输的，反之，你必赢。 　　（a,b）,a,b两堆物品的重量，此处是b>a; 　　解题的技巧： 　　if a > b , 交换两个值。 　　c = b-a; 　　c = （int）(c*(（根号5）+1)/2） 　　if(c == b) 先手必输 　　else 先手必赢

尼姆博弈指的是这样一个博弈游戏： 有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件， 取到最后一件物品的人获胜。

百度百科：

有三堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取任意多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。 　　这种情况最有意思，它与二进制有密切关系，我们用（a，b，c）表示某种局势，首先（0，0，0）显然是奇异局势，无论谁面对奇异局势，都必然失败。第二种奇异局势是　　（0，n，n），只要与对手拿走一样多的物品，最后都将导致（0，0，0）。仔细分析一下，（1，2，3）也是奇异局势，无论自己如何拿，接下来对手都可以将其变为（0，n，n）的情形。 计算机算法里面有一种叫做按位模2加，也叫做异或的运算，我们用符号⊕表示这种运算，先看（1，2，3）的按位模2加的结果： 1 =二进制01 2 =二进制10 3 =二进制11 ⊕ ———————————————— 0 =二进制00 （注意不进位） 对于奇异局势（0，n，n）也一样，结果也是0。 任何奇异局势（a，b，c）都有a⊕b⊕c =0。 注意到异或运算的交换律和结合律，及a⊕a=0，: a⊕b⊕(a⊕b)=(a⊕a)⊕(b⊕b)=0⊕0=0。 所以从一个非奇异局势向一个奇异局势转换的方式可以是： 1）使 a = c⊕b 2）使 b = a⊕c 3）使 c = a⊕b 结论就是：把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。