复变函数

虚数单位i   对于方程 x 2 = − 1 x^2=-1 x2=−1，其在实数集中无解，为了了解方程，引入i，称为虚数单位。对其规定：   ① i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1   ② i可以与实数在一起按同样的法则进行四则运算。

  虚数单位的特性： i 1 = i i^1=i i1=i

i 2 = − 1 i^2=-1 i2=−1

i 3 = − i i^3=-i i3=−i

i 4 = 1 i^4=1 i4=1

. . . . . . ...... ......

i 4 n + 1 = i i^{4n+1}=i i4n+1=i

i 4 n + 2 = − 1 i^{4n+2}=-1 i4n+2=−1

i 4 n + 3 = − i i^{4n+3}=-i i4n+3=−i

i 4 n + 4 = 1 i^{4n+4}=1 i4n+4=1

复数   对于任意的两个实数x和y，称z=x+iy或z=x+yi为复数。它与有序数对z=(x,y)一一对应。   其中x称为z的实部，y称为z的虚部，记作 x = R e ( z ) x=Re(z) x=Re(z)

y = I m ( z ) y=Im(z) y=Im(z)

  当x=0，y≠0时，z=iy称为纯虚数。   当y=0，z=x+i0可以看作实数x。   所有复数够成复数集（复数域），用C表示，即 C = { z ∣ z = x + i y , x , y ∈ R } C=\{z|z=x+iy,x,y\in R\} C={ z∣z=x+iy,x,y∈R}

为什么要引入复数？   ①把复数与平面内的点一一对应起来。   ②使任意实系数一元n次方程存在n个解。   ③简化三角函数的运算。   ④用于计算实反常积分。

复数不能比较大小   两个复数相等，当且仅当它的实部和虚部分别相等。   复数z等于0，当且仅当它的实部和虚部都为0。   只有实数可以比较大小，如果不全是实数，那么就不能够比较大小。

  复数不能比较大小的原因   对于复数i和0，显然，i≠0。   （1）若i＞0，那么i·i＞0，即得到-1＞0，矛盾。   （2）若i＜0，那么i·i＞0·i，同样得到-1＞0，矛盾。   由此，可以得到，复数无法定义大小关系。

共轭复数   实部相同，虚部绝对值相等而符号相反的两个复数称为共轭复数，记为 z ˉ \bar{z} zˉ，即若 z = x + i y z=x+iy z=x+iy，则 z ˉ = x − i y \bar{z}=x-iy zˉ=x−iy。

  设两个复数为 z 1 = x 1 + i y 1 z_1=x_1+iy_1 z1​=x1​+iy1​， z 2 = x 2 + i y 2 z_2=x_2+iy_2 z2​=x2​+iy2​。

  ①和 z 1 ± z 2 = ( x 1 ± x 2 ) + i ( y 1 ± y 2 ) z_1±z_2=(x_1±x_2)+i(y_1±y_2) z1​±z2​=(x1​±x2​)+i(y1​±y2​)

  ②积 z 1 ⋅ z 2 = ( x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i ( x 2 y 1 + x 1 y 2 ) z_1·z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_2y_1+x_1y_2) z1​⋅z2​=(x1​x2​−y1​y2​)+i(x2​y1​+x1​y2​)

  ③商 z 1 z 2 = ( x 1 + i y 1 ) ( x 2 − i y 2 ) ( x 2 + i y 2 ) ( x 2 − i y 2 ) = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i x 2 y 1 − x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 \frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} z2​z1​​=(x2​+iy2​)(x2​−iy2​)(x1​+iy1​)(x2​−iy2​)​=x22​+y22​x1​x2​+y1​y2​​+ix22​+y22​x2​y1​−x1​y2​​

复数的四则运算性质   ①交换律 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 z_1+z_2=z_2+z_1 z1​+z2​=z2​+z1​

z 1 z 2 = z 2 z 1 z_1z_2=z_2z_1 z1​z2​=z2​z1​

  ②结合律 ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) (z1​+z2​)+z3​=z1​+(z2​+z3​)

( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3) (z1​z2​)z3​=z1​(z2​z3​)

  ③分配律 z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 z1​(z2​+z3​)=z1​z2​+z1​z3​

共轭复数性质   （1） z ˉ ˉ = z \bar{\bar{z}}=z zˉˉ=z   （2） z 1 z_1 z1​加减（乘除） z 2 z_2 z2​的共轭等于 z 1 z_1 z1​的共轭加减（乘除） z 2 z_2 z2​的共轭   （3） z ⋅ z ˉ = ∣ z ∣ 2 = ∣ z 2 ∣ z·\bar{z}=|z|^2=|z^2| z⋅zˉ=∣z∣2=∣z2∣   （4） z + z ˉ = 2 R e ( z ) , z − ( ˉ z ) = 2 i I m ( z ) z+\bar{z}=2Re(z),z-\bar(z)=2iIm(z) z+zˉ=2Re(z),z−(ˉ​z)=2iIm(z)，即 x = z + z ˉ 2 , y = z − z ˉ 2 i x=\frac{z+\bar{z}}{2},y=\frac{z-\bar{z}}{2i} x=2z+zˉ​,y=2iz−zˉ​

  复数域 C → R 2 C \rightarrow R^2 C→R2也就是 z = x + i y → z : ( x , y ) z=x+iy \rightarrow z:(x,y) z=x+iy→z:(x,y)

复平面   用建立了直角坐标系的平面来表示复数的平面称为复平面。   横轴：实轴或x轴   纵轴：虚轴或y轴   复数z=x+iy可以用复平面上的点P(x,y)表示。

复数的模（绝对值）   复数z=x+iy也可以用复平面上的向量 O P ⃗ \vec{OP} OP 表示。向量的长度称为z的模或绝对值，记为 ∣ z ∣ = r = x 2 + y 2 |z|=r=\sqrt{x^2+y^2} ∣z∣=r=x2+y2 ​

  显然， ∣ x ∣ ≤ ∣ z ∣ |x|≤|z| ∣x∣≤∣z∣， ∣ y ∣ ≤ ∣ z ∣ |y|≤|z| ∣y∣≤∣z∣， ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ≥ ∣ z ∣ |x|+|y|≥|z| ∣x∣+∣y∣≥∣z∣

复数的辐角   称以正实轴为始边，以向量 O P ⃗ \vec{OP} OP 为终边的角的弧度数θ为复数z的辐角（z≠0），记作Argz=θ   （1）任何一个复数z≠0有无穷多个辐角。   （2）z≠0时， t a n ( A r g z ) = y x tan(Argz)=\frac{y}{x} tan(Argz)=xy​   （3）z=0时，辐角无意义。

辐角主值   在z（≠0）的辐角中，把满足 ( − π , π ] (-\pi,\pi] (−π,π]的辐角称为Argz的主值，记作 θ 0 = a r g z \theta_0=argz θ0​=argz

  与辐角的关系： A r g z = a r g z + 2 k π , k ∈ Z Argz=argz+2k\pi,k\in Z Argz=argz+2kπ,k∈Z

θ 0 = a r g z = { a r c t a n y x x > 0 a r c t a n y x ± π x < 0 , y ≠ 0 π x < 0 , y = 0 ± π 2 x = 0 , y ≠ 0 \theta_0=argz=\begin{cases}arctan\frac{y}{x}&x>0\\arctan\frac{y}{x}±\pi&x