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课程编号: 课程性质: 专业基础课 课程名称: 复变函数 学时/学分: 36/2 英文名称: Functions of Complex Variables 考核方式: 闭卷笔试 选用教材: 《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室编,高等教育出版社 大纲执笔人: 公数教学部 先修课程: 高等数学 大纲审核人: 李锦成 适用专业: 理工科专业 一、教学目标 复变函数是高等工科院校的一门数学基础理论课。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的,因此它与微积分学的概念、方法有许多相似和联系,但又有许多的发展与区别。复变函数中的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用,是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。通过本课程的学习,使学生正确理解和掌握复变函数与积分变换中的数学概念和方法,逐步培养学生利用这些概念和方法解决实际问题的能力,为后续课程的学习奠定必要的数学基础。 二、教学基本内容 (一)复数与复变函数 复数的概念及其代数运算,复数的几何表示,复数的乘幂和方根,区域,复变函数的概念,映射的定义,复变函数的极限和连续性。 【重点】:复数各种表示法之间的转换、复数的运算、复平面上的区域、复变函数以及复变函数的极限与连续性概念。 【难点】:复球面概念,复变函数理解为复平面上两个集合间的映射。 要求学生: 熟练掌握复数的各种表示方法及其运算;了解区域的概念;了解复球面与无穷远点;理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续性概念。 (二)解析函数 复变函数的导数与微分,解析函数的概念,函数解析的充要条件,初等函数及其解析性。 【重点】:函数可导性与解析性的判定,求函数的解析区域以及初等函数的函数值。 【难点】:弄清可导与解析之间的关系,复变函数的解析性与实二元函数可微性之间的关系。 要求学生: 理解复变函数的导数以及复变函数解析的概念;熟悉复变函数解析的充要条件;了解指数函数、三角函数、对数函数及幂函数的定义及它们的主要性质(包括在单值域中的解析性)。 (三)复变函数的积分 复变函数积分的概念与性质,复变函数的积分存在的条件及其计算法,柯西-古萨基本定理,复合闭路定理,原函数与不定积分,柯西积分公式,解析函数的高阶导数,解析函数与调和函数的关系。 【重点】:复变函数积分的计算(柯西-古萨基本定理、复合闭路定理、实二元函数线积分、柯西积分公式、高阶导数公式、牛顿-莱布尼兹公式等方法),解析函数与调和函数的关系。 【难点】:从解析函数的实(虚)部求其虚(实)部(或这解析函数)的方法。 要求学生: 了解复变函数积分的概念与性质,会求复变函数的积分;理解柯西-古萨积分定理,掌握牛顿-莱布尼兹公式、柯西积分公式、高阶导数公式和复合闭路定理,能熟练运用来计算复变函数的积分;了解析函数的导数仍是解析函数,解析函数无限次可导的性质;了解调和函数的关系,会从解析函数的实(虚)部求其虚(实)部或这解析函数的方法。 (四)级数 复数列的极限,复数项级数概念及其收敛性的判别法,幂级数概念,收敛圆与收敛半径,收敛半径的求法,幂级数的运算和性质,泰勒级数,洛朗级数。 【重点】:幂级数收敛半径的求法,将一个解析函数展开为泰勒级数及在圆环域内解析函数的洛朗展开。 【难点】:将一个解析函数展开为泰勒级数或洛朗级数。 要求学生: 理解复数项级数收敛、发散以及绝对收敛等概念;了解幂级数收敛圆的概念,会求幂级数的收敛半径的求法,了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质;了解泰勒定理,记住 的展开式,掌握将一个解析函数展为幂级数的基本方法,并会利用它们将一些简单的解析函数展开为幂级数;了解洛朗定理,会用间接方法将一些简单的函数在圆环域内展为洛朗级数。 (五)留数 孤立奇点的概念及其分类,函数的零点与极点的关系,留数的定义及留数定理,留数的计算规则,留数在定积分计算上的应用。 【重点】:函数在孤立奇点处留数的计算,利用留数求复变函数的积分和三种类型定积分的方法。 【难点】:孤立奇点类型的确定,以及用留数计算实积分时积分围道的确定。 要求学生: 理解孤立奇点的概念及其分类;理解留数概念,掌握留数的计算方法,特别是极点处留数的求法;理解留数定理;会用留数求复积分及一些实积分。 三、建议教学进度
课程内容 授课学时数 上机学时 实践学时 复数与复变函数 6-7 解析函数 6-7 复变函数的积分 8-9 级数 6-9 留数 8-10 合计 34-42
四、教学方法 1、以课堂讲授为主,阐述微积分学的概念、基本原理、基本方法及其在几何、物理中的基本应用,为学生学习后继课程奠定必要而良好的数学基础 2、采用黑板板书授课,有时适当结合多媒体课件以及几何实物立体模型等进行辅助教学 3、在发挥教师主导作用的同时,充分发挥学生的主体作用,为学生的积极参与创造条件,引导学生去思考、去探索、去发现,鼓励学生大胆地提出问题并尝试解决问题 4、以教师为主导、学生为主体,进行适当的课堂提问和讨论、学生到黑板上做题并讲解,调动学生学习的自觉性和积极性,激活学生的自主学习潜能以及主观能动性 5、统一教学进度,统一教案,统一出卷、集体阅卷 6、正常授课期间每周六安排几位教师在指定时间、地点进行全校性的周末公数辅导 7、利用QQ、微信等网络互动平台,给学生课后答疑
五、考核方式 闭卷笔试
六、成绩评定方法 笔试成绩70%,平时成绩30%
七、教学参考书 1. 《复变函数》,西安交通大学高等数学教研室编,高等教育出版社,1996年5月第4版。 2. 《复变函数论》,钟玉泉编,高等教育出版社, 1988年5月第2版。 3. 《复变函数学习指导书》, 钟玉泉编,高等教育出版社,1996年4月第1版。 4. 《复变函数与积分变换典型题分析解集》,李建林编,西北工业大学出版社,2001年1月第2版。 5. 《复变函数与积分变换》,哈尔滨工业大学数学系组编,盖云英、包革军编,科学出版社,2001年8月第1版。 注:《复变函数》的第六章“共形映射”不讲。
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