【概率论】3

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Abstract: 本文介绍描述随机变量分布的另一种工具，累积分布函数，CDF Keywords: Cumulative Distribution Function，Quantial

有一位时事评论人士曾经说过里根总统是一位非常耿直的总统，这位伟大的总统有一个很简单的评判人的观点，他认为一个人以前的做法和以后的做法将会非常相似，比如你是曾经是一个罪犯，那么你以后很有可能还会犯罪。佛说放下屠刀立地成佛，文人说浪子回头金不换，但是能达到这种境界的“坏人”不多，更多情况的是民间谚语：“狗改不了吃屎”。

当我们从试验和事件通过随机变量数学化以后，所有数学性质都是围绕随机变量展开的，其中比较关键的就是随机变量到概率的映射，离散分布（离散随机变量）和连续分布（连续随机变量）我们前两篇已经讨论过了，而且描述这两种形式的随机变量的方法也不同，离散分布通过概率函数从随机变量得到概率，连续分布通过概率密度函数结合积分来得到概率，并且概率函数和概率密度函数都有一些自己的性质，可以帮助我们分析问题。我们这节的目的是找出一个可以同时用于离散分布和连续分布的工具，来指示随机变量和概率间的关系。

Definition (Cumulative) Distribution Function :The distribution function or cumulative distribution function(abbreviated c.d.f) F F F of a random variable X X X is the function: F ( x ) = P r ( X ≤ x ) for − ∞ < x < + ∞ F(x)=Pr(X\leq x)\quad \text{for} \quad -\inftyx:xx:xx:xx:x x F ( y ) F(x^{-})=lim_{y\to x,yx}F(y) F(x−)=limy→x,yx​F(y)

在cdf的间断点上，只可以有右极限。

Continuity from the Right.A c.d.f. is always continuous from the right: that is, F ( x ) = F ( x + ) F(x)=F(x^{+}) F(x)=F(x+) at every point x x x

这个证明后续补上，需要数学分析中极限的证明（遗留问题）

那么如何从分布函数中找到某个点（离散下）或者区间（连续下）的概率呢？

Theorem: For every value x x x, P r ( X > x ) = 1 − F ( x ) Pr(X>x) = 1 - F(x) Pr(X>x)=1−F(x) QED 证明显而易见，依据定义 F ( x ) = P r ( X ≤ x ) F(x)=Pr(X\leq x) F(x)=Pr(X≤x) 又因为 { x : X ≤ x } \{x:X\leq x\} {x:X≤x} 和 { x : X > x } \{x:X > x\} {x:X>x} 是互补事件，所以依据1-1必然有 P r ( X > x ) = 1 − F ( x ) Pr(X>x) = 1 - F(x) Pr(X>x)=1−F(x)