曲线拟合和分布拟合

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曲线拟合和分布拟合

2024-04-11 19:07| 来源: 网络整理| 查看: 265

在曲线拟合与分布拟合之间进行选择

曲线拟合和分布拟合是不同类型的数据分析。

当您要将某个响应变量建模为预测变量的函数时，请使用曲线拟合。

当您要为单一变量的概率分布建模时，请使用分布拟合。

曲线拟合

在以下试验数据中，预测变量为 time，即服用药物之后的时间。响应变量为 conc，即血液中的药物浓度。假设只有响应数据 conc 受试验误差的影响。

time = [ 0.1 0.1 0.3 0.3 1.3 1.7 2.1 2.6 3.9 3.9 ... 5.1 5.6 6.2 6.4 7.7 8.1 8.2 8.9 9.0 9.5 ... 9.6 10.2 10.3 10.8 11.2 11.2 11.2 11.7 12.1 12.3 ... 12.3 13.1 13.2 13.4 13.7 14.0 14.3 15.4 16.1 16.1 ... 16.4 16.4 16.7 16.7 17.5 17.6 18.1 18.5 19.3 19.7]'; conc = [0.01 0.08 0.13 0.16 0.55 0.90 1.11 1.62 1.79 1.59 ... 1.83 1.68 2.09 2.17 2.66 2.08 2.26 1.65 1.70 2.39 ... 2.08 2.02 1.65 1.96 1.91 1.30 1.62 1.57 1.32 1.56 ... 1.36 1.05 1.29 1.32 1.20 1.10 0.88 0.63 0.69 0.69 ... 0.49 0.53 0.42 0.48 0.41 0.27 0.36 0.33 0.17 0.20]';

假设您要将血液浓度建模为时间的函数。绘制 conc 对 time 的图。

plot(time,conc,'o'); xlabel('Time'); ylabel('Blood Concentration');

假设 conc 作为 time 的函数，遵循双参数威布尔曲线。威布尔曲线的形式和参数如下

y=c(x/a)(b-1)e-(x/a)b,

其中，a 是水平缩放，b 是形状参数，c 是垂直缩放。

使用非线性最小二乘来拟合威布尔模型。

modelFun = @(p,x) p(3) .* (x./p(1)).^(p(2)-1) .* exp(-(x./p(1)).^p(2)); startingVals = [10 2 5]; nlModel = fitnlm(time,conc,modelFun,startingVals);

在数据上绘制威布尔曲线。

xgrid = linspace(0,20,100)'; line(xgrid,predict(nlModel,xgrid),'Color','r');

拟合的威布尔模型存在问题。fitnlm 假设试验误差为加性误差，并且来自具有常量方差的对称分布。但散点图显示，误差方差与曲线高度成正比。而且，加性对称误差意味着可能出现负的血液浓度测量值。

更加现实的假设是，乘性误差在对数尺度上对称。依据该假设，通过取两侧的对数，对数据进行威布尔曲线拟合。使用非线性最小二乘来拟合曲线：

log(y)=log(c)+(b-1)log(x/a)-(x/a)b.

nlModel2 = fitnlm(time,log(conc),@(p,x) log(modelFun(p,x)),startingVals);

将新曲线添加到现有绘图。

line(xgrid,exp(predict(nlModel2,xgrid)),'Color',[0 .5 0],'LineStyle','--'); legend({'Raw Data','Additive Errors Model','Multiplicative Errors Model'});

模型对象 nlModel2 包含精度估计。最佳做法是检查模型的拟合优度。例如，在对数尺度上绘制残差图，以检验假设乘性误差具有常量方差是否正确。

在此示例中，使用乘性误差模型对模型预测的影响很小。有关模型类型影响较大的示例，请参阅 Pitfalls in Fitting Nonlinear Models by Transforming to Linearity。

曲线拟合函数

Statistics and Machine Learning Toolbox™ 包含以下用于拟合模型的函数：用于非线性最小二乘模型的 fitnlm、用于广义线性模型的 fitglm、用于高斯过程回归模型的 fitrgp 和用于支持向量机回归模型的 fitrsvm。

Curve Fitting Toolbox™ 提供了命令行和图形工具，可以简化曲线拟合中的任务。例如，该工具箱自动为各种模型选择起始系数值，并提供稳健和非参数拟合方法。

Optimization Toolbox™ 包含用于执行复杂类型的曲线拟合分析的函数，例如分析具有系数约束的模型。

MATLAB® 函数 polyfit 用于拟合多项式模型，而 MATLAB 函数 fminsearch 适用于其他种类的曲线拟合。

分布拟合

假设您要对电子元件使用寿命的分布进行建模。变量 life 用于测量 50 个完全相同的电子元件的失效时间。

life = [ 6.2 16.1 16.3 19.0 12.2 8.1 8.8 5.9 7.3 8.2 ... 16.1 12.8 9.8 11.3 5.1 10.8 6.7 1.2 8.3 2.3 ... 4.3 2.9 14.8 4.6 3.1 13.6 14.5 5.2 5.7 6.5 ... 5.3 6.4 3.5 11.4 9.3 12.4 18.3 15.9 4.0 10.4 ... 8.7 3.0 12.1 3.9 6.5 3.4 8.5 0.9 9.9 7.9]';

用直方图可视化数据。

binWidth = 2; lastVal = ceil(max(life)); binEdges = 0:binWidth:lastVal+1; h = histogram(life,binEdges); xlabel('Time to Failure'); ylabel('Frequency'); ylim([0 10]);

由于使用寿命数据通常遵循威布尔分布，因此可以使用前一个曲线拟合示例中的威布尔曲线来拟合直方图。要尝试此方法，请将直方图转换为一个 (x,y) 点集，其中 x 是 bin 中心，y 是 bin 高度，然后对这些点进行曲线拟合。

counts = histcounts(life,binEdges); binCtrs = binEdges(1:end-1) + binWidth/2; h.FaceColor = [.9 .9 .9]; hold on plot(binCtrs,counts,'o'); hold off

但是，对直方图进行曲线拟合容易出现问题，通常不建议这样做。

该过程违背了最小二乘拟合的基本假设。bin 计数是非负值，这意味着测量误差不对称。而且，bin 计数在分布的尾部和中心具有不同的变异性。最后，bin 计数的总和是固定的，这意味着它们不是独立的测量值。

如果您对条形高度进行威布尔曲线拟合，则必须对曲线进行约束，因为直方图是经过缩放的经验概率密度函数 (pdf)。

对于连续数据，对直方图（而不是数据）进行曲线拟合会丢弃信息。

直方图的条形高度依赖于 bin 边界和 bin 宽度的选择。

对于许多参数化分布，最大似然是更好的参数估计方法，因为它能避免这些问题。威布尔 pdf 与威布尔曲线具有几乎相同的形式：

y=(b/a)(x/a)(b-1)e-(x/a)b.

只不过 b/a 取代了尺度参数 c，因为该函数的积分必须为 1。要使用最大似然对数据进行威布尔分布拟合，请使用 fitdist 并将 'Weibull' 指定为分布名称。与最小二乘不同，最大似然会找到与缩放后的直方图最匹配的威布尔 pdf，而无需最小化 pdf 与条形高度之差的平方和。

pd = fitdist(life,'Weibull');

绘制经过缩放的数据直方图，并叠加绘制拟合的 pdf。

h = histogram(life,binEdges,'Normalization','pdf','FaceColor',[.9 .9 .9]); xlabel('Time to Failure'); ylabel('Probability Density'); ylim([0 0.1]); xgrid = linspace(0,20,100)'; pdfEst = pdf(pd,xgrid); line(xgrid,pdfEst)

最佳做法是检查模型的拟合优度。

尽管通常不建议对直方图进行曲线拟合，但在某些情况下这样做是合适的。有关示例，请参阅Fit Custom Distributions。

分布拟合函数

Statistics and Machine Learning Toolbox™ 包含用于对数据进行概率分布对象拟合的函数 fitdist。它还包括使用最大似然来拟合参数化分布的专用拟合函数（例如 wblfit）、用于拟合自定义分布（此时不使用专用拟合函数）的函数 mle，以及用于对数据进行非参数化分布模型拟合的函数 ksdensity。

Statistics and Machine Learning Toolbox 还提供了分布拟合器 App，它能简化分布拟合中的许多任务，例如生成可视化和诊断图。

利用 Optimization Toolbox™ 中的函数，您可以拟合复杂的分布，包括具有参数约束的分布。

MATLAB® 函数 fminsearch 提供最大似然分布拟合。

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