图像梯度计算

理论知识：

连续函数在某一点的导数可以由  得到，图像是离散函数，在某点的梯度可以用向前差商、向后差商或者中心差商获得。这里采用中心差商  可以获取图像某点的导数值。计算过程如下图所示

写成一维卷积的形式等于与如下这样一个滤波核作卷积，分母对结果无关紧要，全部舍弃。

考虑上下两行同时中心一行赋予多一点的权值就可以得到Sobel 滤波核

需要注意的是这样的核只是计算在x方向(也就是横向)图像像素值大小的变化率。图像是二维的所以还应考虑y方向，做法只需要将横向的Sobel核转置。

总结一下如何计算图像梯度值的步骤：

1、需要用到计算x、y方向导数值的两个滤波核

2、分别与图像进行卷积

3、把得到的值写在一起得到图像梯度向量

梯度方向：

梯度幅度：

梯度计算对噪声很敏感

假设有如下信号：

信号有很多噪声，对其进行梯度幅度值计算会得到如下杂乱的值与我们期望的不一致：

原因是导数滤波对噪声很敏感。

解决方法是在计算图像梯度值时需要事先进行模糊操作。

图像二阶导数与Laplacian滤波

利用中心差商可以得到某点的一阶导数，同理可以得到二阶导数

可得：

所以一维laplace filter为：

用一维laplacian核进行卷积会得到什么样的结果？

0交叉点对应这边缘。

考虑y方向推广到2维得到2D Laplace filter:

与Sobel滤波的不同点：

Laplacian 零交叉点对应边缘

Sobel 极值对应边缘

一般来说零交叉点检测边缘会更精准一点