矩阵的常用运算法则

2024-01-06 18:34| 来源: 网络整理| 查看: 265

文章目录矩阵的概念矩阵的加法矩阵的乘法矩阵的转置矩阵的逆矩阵的行列式矩阵的导数

矩阵的概念

把由 m × n m\times n m×n个数 a i ( i = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) a_i(i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n) ai(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排列成 m m m行 n n n列的数表，称为 m m m行 n n n列的矩阵。

特别的，如果 m = n m=n m=n，则称为方阵；如果只有一列矩阵则称为列矩阵或者列向量；同样的只有一行，则称为行矩阵或者行向量。

如果元素都为0，则称为零矩阵，记作 O O O。

如果所有元素对应相等，则称两矩阵相等。

矩阵的数学意义其实就是映射。

矩阵的加法

只有行数和列数对应相同的两个矩阵才能相加，对应元素相加。矩阵加法的运算规律：

交换律： A + B = B + A 交换律：A+B=B+A 交换律：A+B=B+A 结合律： ( A + B ) + C = A + ( B + C ) 结合律：(A+B)+C=A+(B+C) 结合律：(A+B)+C=A+(B+C) 负矩阵： A + ( − A ) = O 负矩阵：A+(-A)=O 负矩阵：A+(−A)=O 减法： A − B = A + ( − B ) 减法：A-B=A+(-B) 减法：A−B=A+(−B) 矩阵的乘法数乘： λ A = A λ , λ 和矩阵每个元素相乘； \lambda A=A\lambda,\lambda和矩阵每个元素相乘； λA=Aλ,λ和矩阵每个元素相乘；运算规律： ( λ μ ) A = λ ( μ A ) ; (\lambda\mu)A=\lambda(\mu A); (λμ)A=λ(μA); ( λ + μ ) A = λ A + μ A ; (\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A; (λ+μ)A=λA+μA; λ ( A + B ) = λ A + λ B ; \lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B; λ(A+B)=λA+λB; 矩阵乘法结合律 : ( A B ) C = A ( B C ) 结合律: (AB)C = A(BC) 结合律:(AB)C=A(BC) λ ( A B ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) \lambda(AB)=(\lambda A)B=A(\lambda B) λ(AB)=(λA)B=A(λB) A ( B + C ) = A B + A C A(B+C)=AB+AC A(B+C)=AB+AC ( B + C ) A = B A + C A (B+C)A = BA+CA (B+C)A=BA+CA E A = A E = A , 其中 E 为单位矩阵 EA=AE=A,其中E为单位矩阵 EA=AE=A,其中E为单位矩阵矩阵的转置 ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT ( λ A ) T = λ A T (\lambda A)^T=\lambda A^T (λA)T=λAT ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT

特别的，满足 A T = A A^T=A AT=A的矩阵，称为对称矩阵。

矩阵的逆

对于方阵 A , B A,B A,B,满足： A B = B A = E ，其中 E 为单位矩阵，则称 A 是可逆的， B 为 A 的逆矩阵，记作 A − 1 AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记作A^{-1} AB=BA=E，其中E为单位矩阵，则称A是可逆的，B为A的逆矩阵，记作A−1

若矩阵可逆，则其行列式不为0。反之亦然。

A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ ，其中 A ∗ 为伴随矩阵 A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*，其中A^*为伴随矩阵 A−1=∣A∣1A∗，其中A∗为伴随矩阵

矩阵的行列式 ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T|=|A| ∣AT∣=∣A∣ ∣ λ A ∣ = λ n ∣ A ∣ |\lambda A|=\lambda^n|A| ∣λA∣=λn∣A∣ ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ |AB|=|A||B| ∣AB∣=∣A∣∣B∣ 矩阵的导数

几个常用的求导公式： ∂ β x ∂ x = β \frac{\partial \beta \mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=\beta ∂x∂βx=β ∂ x T x ∂ x = 2 x \frac{\partial \mathbf{x^T}\mathbf{x}}{\partial\mathbf x}=2\mathbf x ∂x∂xTx=2x ∂ x T A x ∂ x = ( A + A T ) x \frac{\partial \mathbf{x^T} A \mathbf{x}}{\partial\mathbf x}=(A+A^T)\mathbf x ∂x∂xTAx=(A+AT)x

具体见参考文献： CSDN:矩阵求导、几种重要的矩阵及常用的矩阵求导公式

参考资料

[1] 《工程数学线性代数》（同济大学第6版），第2章

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