生物统计学常用统计分析方法系列文章之十二：协方差分析（Analysis of Covariance，ANCOVA）

前边介绍了单因素方差分析、两因素方差分析、重复测量方差分析等，方差分析可谓其经典分析方法。而下边介绍的协方差分析也是方差分析的一种特殊类型，而它一大优势便是可以提高均值比较的精度，而它是怎么做到的呢？ 所谓协方差分析（Analysis of Covariance，ANCOVA）就是在对两组或多组的均值进行比较时，对其他可能影响到反应值的某些连续性变量进行了调整，这些变量就叫做协变量（covariate）。在这里需要说明的是ANCOVA限定用于反应值和协变量可能存在线性关系的情况下。因此从这个意义上来说，ANCOVA其实是方差分析和简单线性相关的一个结合。理解了ANCOVA的概念，我们便可以看出把协变量纳入模型，作为变异来源的一部分，便可以降低误差项变异，从而提高了组间比较的精度。 ANCOVA是临床试验中应用最广泛的统计分析方法之一，比如： 1）在很多主要疗效变量为change from baseline的试验中，往往对baseline值进行调整 2）一些降血脂试验中，对年龄进行调整，等等 如果某个重要变量在各组间分布不同，ANCOVA显得尤为有用。我们在临床试验的统计分析中，往往要对病人的基线特征如年龄、基线数据等进行可比性的分析，如果基线变量在治疗组间不均衡时，这时我们在进行疗效分析时就需要对其进行调整。这时把这个变量当作协变量加以调整后的统计分析即ANCOVA的结果可能与未使用未调整的方差分析ANOVA的结果有明显的不同。 这里简单介绍一下协方差分析的思路。以最简单的ANCOVA模型为例，先看一下数据结构： 治疗组1：（X为协变量，Y为反应值，样本量为n1）

治疗组2：（X为协变量，Y为反应值，样本量为n2）

治疗组K：（X为协变量，Y为反应值，样本量为nk） 

和ANOVA一样，ANCOVA假定样本独立，正态分布和方差齐性。另外还假定每组的回归斜率（regression slopes）是一样的。 然后我们来看一下ANCOA的一个简单的总结表：

如上表，大家可以看出与线性回归的方差分析模型相比，增加了GROUP效应，并且仍把X与Y的线性关系用模型中的协变量X来表达，然后通过GROUP的F值和协变量X的F值来分别检验GROUP效应和协变量效应。 这里结合一个简单的例子来进一步了解ANCOVA。 例1：一项比较A药和B药的临床试验中，已知主要疗效指标为Y (percent change from baseline)，而基线某因素X可能对疗效Y有重要影响。主要数据如下表：

1. 对协变量X进行调整进行ANCOVA分析后的结果的总结如下表：

注：两个F值都是有统计学意义的，p0.05。

从上表我们得出的结论是两组疗效没有统计学差别。 同样的数据，采用不同的统计分析方法，一个是不调整协变量的ANOVA分析，另一个是对协变量进行调整的ANCOVA分析，最后的结论却截然相反，为什么会造成这种结果呢？  在同一个例子的数据中使用了ANCOVA和ANOVA分析，结果却截然相反。ANCOVA分析中治疗组间有显著性差别，而ANOVA分析则表明治疗组间没有显著性差别。为什么呢？也许有的同学可以一语中的地说，因为一个对协变量进行了调整，一个没有，而这个协变量对疗效具有显著影响。没错，这就是根本原因。但我们还是想从数据上来找一些端倪： （1）与ANOVA相比，ANCOVA中MSE的大大降低，致使治疗组间比较的精度（precision）大大增高。 正如前边所提的，ANCOVA把协变量纳入模型，作为变异来源的一部分，便可以降低误差项变异，从而提高了组间比较的精度。在这个例子中，MSE从277.6降到了93.7，由此带来的便是组间比较精度的提高。 （2）与未进行调整的组间均值的差异比较，ANCOVA在对X协变量进行调整后，治疗组间均值的差异大大增加。 在这个例子中，ANCOVA分析后建立的关系式是： A组：Y^=74.81-11.268X B组：Y^=64.59-11.268X 而协变量X在两组中的总体均数为6.8118, 把这个值带入上边的两个关系式便可以得出A组和B组调整后的均数。 我们对调整和未调整的治疗组的均数进行了总结，如下表：

 从这个关系式中，我们可以看出X每增加1单位，Y会降低11.268。而A组和B组协变量X的均值分别为7.00和6.64。但ANCOVA中对两组疗效均数的计算则是基于同样的X值即两组总体均数6.8118，这个值比A组的实际X均数（7.00）小，而比B组实际X均数(6.64)大。通俗地理解如下：

（1）本来A组X应该用7.00，结果用了6.818，由于在关系式中，我们发现Y与X是成反比的，因此X减小了，相应地Y会增大，这就出现了A组中Y的均值由-4.1增大变成-1.9的结果 （2）同样道理，本来B组X应该用6.64，结果用了6.818，因此X增大了，相应地Y会减小，这就出现了B组中Y的均值由-10.3减小成-12.2的结果 （3）由于A组Y均值变大，B组Y均值变小，这一正一反，结果就造成A组和B组Y均值之间的差异变得更大，而这个差异的变化足以使得两组间出现统计学差异。 其实我们进一步想来，如果A组和B组协变量X的均值差不多大的话，那么他们的总体均数应该和两组实际的均值差别不大，这样调整后的Y值变化也不会太大，那么两组Y值差异也不会变化太大，那么这种两组差异不大的变化就不足以出现结论相反的情况；但是如果A组和B组协变量X的均值差别较大，就和我们例子中的那样，就会可能出现结论相反的情况。这一点其实正好印证了前边提到的，当一些重要的基线变量在治疗组分布不均衡（即均值相差较大）时，把这个变量当作协变量加以调整后的统计分析即ANCOVA的结果可能与未使用未调整的方差分析ANOVA的结果有明显的不同。  最后，我们来看一下ANCOVA的SAS程序的实现：  PROC  GLM;       CLASS  TRT;       MODEL  Y=  TRT  X / SOLUTION;       LSMEANS  TRT / PDIFF  STDERR; RUN; 解释： （1）SOLUTION选项：通过这个选项可以得出回归关系式的估计 （2）LSMEANS语句：可以得出协变量调整后的Y的均值 在进行ANOCOVA分析时，一个很重要的问题就是协变量的选择，在ANCOVA模型中纳入不同的协变量可能结果会有所不同。 例：一项比较降压药A和B的随机对照多中心试验，主要疗效指标为舒张压与基线相比的变化值（BPDCH）。对疗效可能有影响的协变量包括年龄(AGE)、基线舒张压(BPD0)。  下边我们来看看SAS程序构建的不同的模型和结果吧：

从上表中，我们可以看出：

（1）不调整协变量的one-way ANOVA（模型1）和two-way ANOVA（模型2）的结果都显示治疗组别的p值都是在显著性水平的边界上，为0.05多一点。

（2）而仅把年龄当作唯一的协变量进行调整时，即模型4和模型7时，年龄都是具有显著性意义的，p值分别为0.0142和0.0230；而把基线舒张压也放进模型作为协变量调整时，即模型5和模型8时，年龄就没有显著意义了，p值分别为0.0840和0.0979；这说明什么呢？可能年龄和基线舒张压具有共线性。

（3）当基线舒张压作为协变量而年龄不是协变量时，即模型3和模型6时，治疗组间就有着明显的显著性差别，p值分别为0.0331和0.0343。 从上边不同模型得出不同的结果，这些都表明在研究设计阶段就建立一个适当的统计模型有多么重要，它直接关系着最后的结果和结论。

我们都知道如果统计分析方法没有事先规定好，在进行分析时就会产生bias，这个很好理解，就如上边这个例子，如果我没有事先规定好统计分析模型，而是在分析时不断地试来试去，一个一个模型地来试，这势必会产生偏倚。因此还是强调的那一点，避免偏倚，就是事先规定，如果这个方法是我事先规定的，那么就不会有闲话了。当然事先规定的统计分析方法应该是恰当的，对于统计方法的确定可以参考相关的以前的研究等方法。如果我们纳入了恰当的协变量，那么通过协变量的调整，就可以提高检验出组间差异的把握度，但是如果纳入了不恰当的协变量就可能会稀释组间的差异、出现共线性问题、以及不必要地降低误差项的自由度，从而降低检验把握度甚至得出不正确的p值。